Trong mặt phẳng, hai đường tròn $(C_1),(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm $P$ và $Q$. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn gần $P$ hơn $Q$ tiếp xúc với $(C_1)$ tại $A$ và tiếp xúc với $(C_2)$ tại $B$. Các tiếp tuyến của $(C_1),(C_2)$ kẻ từ $P$ cắt đường tròn kia lần lượt tại $E$ và $F$, ($E,F$ khác $P$). Gọi $H,K$ lần lượt là các điểm nằm trên các đường thẳng $AF,BE$ sao cho $AH=AP$ và $BK=BP$. Chứng minh rằng năm điểm $A,H,Q,K,B$ cùng thuộc một đường tròn.
Cảnh báo biên tập: trên cả đường thẳng có hai điểm cách gốc một khoảng dương cho trước. Phát biểu in chưa chọn các điểm mà chứng minh nguồn cần. Lời giải phân tích hạn chế này, không âm thầm đổi đề.
Cho số nguyên dương $k$. Dãy số $(x_n)$, $n=1,2,3,\ldots$ được xác định như sau: i) $x_1=1$. ii) Với mỗi số nguyên dương $n\ge1$ thì $x_{n+1}$ là số nguyên dương bé nhất không thuộc tập hợp $\{x_1;x_2;x_3;\ldots;x_n;x_1+k;x_2+2k;x_3+3k;x_n+nk\}$. Chứng minh rằng tồn tại số thực $a$ sao cho $x_n=\lfloor na\rfloor$ với mọi $n\in\mathbb N^*$.
Lưu ý ký hiệu: danh sách in thiếu dấu tiếp diễn giữa hai số hạng dịch cuối. Lời giải nguồn dùng tất cả các số $x_i+ik$, $1\le i\le n$; dưới đây theo quy ước ấy.
Cho số nguyên dương $n$, $n\ge2$. Xét đa thức $1+\square x+\square x^2+\cdots+\square x^{2000}$ (có tất cả 2000 ô trống). Hai người A và B chơi trò chơi như sau: đầu tiên A điền một số thực vào một ô trống, tiếp theo B điền một số thực vào một trong các ô trống còn lại, A lại điền một số thực vào một trong các ô trống còn lại, cứ tiếp tục cho đến khi tất cả các ô trống đã được điền. Kí hiệu đa thức nhận được là $P(x)=1+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2000}x^{2000}$. Người chơi lần cuối cùng bị coi là thua nếu đa thức $P(x)$ có ít nhất một nghiệm thực $\alpha$ sao cho $|\alpha|\lt 1$ và sẽ thắng nếu ngược lại. Chứng minh rằng có một trong hai người nói trên có cách chơi để đảm bảo thắng.
Lưu ý biên tập: tham số $n$ xuất hiện trong nguồn nhưng không được dùng; trò chơi có đúng 2000 ô.
Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Số nguyên dương $n$ được gọi là “số bướng bỉnh” nếu không biểu diễn được dưới dạng $n=abx+bcy+caz$, trong đó $x,y,z$ là các số nguyên dương. Hỏi có tất cả bao nhiêu số bướng bỉnh?
Cho các số thực $a,s$ với $s\gt 1$ và hàm số $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$. (1) Giả sử $a\gt 1$. Chứng minh rằng nếu đồng thời (i) $f(x)^2\le ax^s f(x/a)$ với mọi $x\gt 0$ và (ii) $f(x)\lt 2^{2000}$ với mọi $0\lt x\lt 2^{-2000}$ thì $f(x)\le x^s a^{1-s}$ với mọi $x\gt 0$. (2) Giả sử $a\gt 2$. Tìm một hàm số thỏa mãn điều kiện (i) nhưng $f(x)\gt x^s a^{1-s}$ với mọi $x\gt 0$.
Xét $2000$ đường tròn bán kính $r=1$ trên mặt phẳng sao cho không có hai đường tròn nào tiếp xúc với nhau và mỗi đường tròn cắt ít nhất hai đường tròn khác. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của số giao điểm phân biệt của các đường tròn này.