Xác định một dãy các số thực dương $x_0,x_1,x_2,\ldots$ bởi
$$x_0=b,\qquad x_{n+1}=\sqrt{c-\sqrt{c+x_n}}.$$
Hãy xác định tất cả các giá trị của $c$ thỏa mãn đối với mọi $b$ trong khoảng $(0,c)$ sao cho dãy là tồn tại và hội tụ đến một giới hạn khi $n$ tiến ra vô cùng.
Cho hai đường tròn $C,C'$ có các tâm là $O,O'$ tương ứng sao cho các đường thẳng $OX$ và $O'X'$ cắt nhau. $M$ và $M'$ là các điểm thay đổi trên $C$ và $C'$ tương ứng sao cho $\angle XOM=\angle X'O'M'$ (theo hướng ngược kim đồng hồ). Hãy xác định quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng $MM'$. Giả sử rằng $OM$ và $O'M'$ cắt nhau ở $Q$. Chứng minh rằng đường tròn của $QMM'$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho $p(x)=x^3+153x^2-111x+38$. Chứng minh rằng $p(n)$ chia hết cho $3^{2000}$ với ít nhất chín số nguyên dương $n$ mà bé hơn $3^{2000}$. Hỏi rằng có bao nhiêu số $n$ như thế?
Cho một góc $\alpha$ thỏa mãn $0\lt \alpha\lt \pi$. Chứng minh rằng có duy nhất một tam thức bậc hai $x^2+ax+b$ là nhân tử của
$$p_n(x)=\sin\alpha\,x^n-\sin(n\alpha)x+\sin(n\alpha-\alpha)$$
với $n\gt 2$. Chứng minh rằng không có một đa thức tuyến tính $x+c$ nào mà chia hết $p_n(x)$ với mọi $n\gt 2$.
Hãy xác định tất cả $n\gt 3$ thỏa mãn chúng ta có thể tìm được $n$ điểm trong không gian sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên đường tròn và các đường tròn qua ba điểm bất kì là có cùng bán kính.