Cho tam giác $\triangle ABC$. Với $A'$ là trung điểm của cung $BC$ của một đường tròn ngoại tiếp không chứa $A$. $B'$ và $C'$ được xác định tương tự. Các đoạn thẳng $A'B',B'C'$ và $C'A'$ giao nhau với các cạnh của tam giác tại sáu điểm, hai trên mỗi cạnh. Các điểm đó chia mỗi cạnh của tam giác thành ba phần. Chứng minh rằng ba đoạn ở giữa mỗi phần của cạnh bằng nhau khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.
Dãy $a_1,a_2,a_3,\ldots$ được xác định bởi $a_1=1$, $a_2=2$ và $a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$. Dãy $b_1,b_2,b_3,\ldots$ được xác định bởi $b_1=1$, $b_2=4$, $b_{n+2}=3b_{n+1}-b_n$. Chứng minh rằng các số nguyên dương $a,b$ thoả mãn $5a^2-b^2=4$ khi và chỉ khi $a=a_n$ và $b=b_n$ với một số nguyên dương nào đó.
Cho bốn tia $OA,OB,OC,OD$ trong không gian sao cho góc giữa hai trong chúng là bằng nhau. Chứng minh rằng khi mà một tia thay đổi $OX$, thì tổng các cosin của các góc $\widehat{XOA},\widehat{XOB},\widehat{XOC},\widehat{XOD}$ là hằng số và tổng các bình cosin của các góc đó cũng là hằng số.
Hãy xác định tất cả các hàm $f(n)$ xác định trên tập các số nguyên không âm với các giá trị trong $\{0,1,2,\ldots,2000\}$ thoả mãn các điều kiện sau:
(a) $f(n)=n$ với $0\le n\le2000$.
(b) $f(f(m)+f(n))=f(m+n)$ với mọi $m,n$ nguyên dương.