Cho số nguyên tố lẻ $p$ thỏa mãn $2^h\not\equiv1\pmod p$ với mọi số nguyên $1\le h\lt p-1$, và số nguyên chẵn $a$ thỏa mãn $p/2\lt a\lt p$. Xét dãy $a_0=a$, $a_{n+1}=p-b_n$ với $n\ge0$, trong đó $b_n$ là ước số lẻ lớn nhất của $a_n$. Chứng minh dãy $(a_n)$ tuần hoàn và tìm chu kì dương nhỏ nhất của nó.
Hai đa thức hệ số thực $f(x),g(x)$ được gọi là “đồng dạng” nếu tồn tại $q\in\mathbb R$ sao cho $f(x)=qg(x)$ với mọi $x\in\mathbb R$.
1. Chứng minh tồn tại đa thức hệ số thực $P(x)$ bậc 1999 sao cho $P(x)^2-4$ và $(P'(x))^2(x^2-4)$ đồng dạng.
2. Có bao nhiêu đa thức bậc 1999 thỏa mãn điều kiện trên?
Cho đa giác lồi $H$. Chứng minh rằng với mọi số thực $a\in(0,1)$, tồn tại sáu điểm phân biệt $A_1,A_2,\ldots,A_6$ nằm trên các cạnh của $H$, được đánh số theo chiều kim đồng hồ, thỏa mãn đồng thời:
1. $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{A_5A_4}=a\overrightarrow{A_6A_3}$;
2. các đường thẳng $A_1A_2$ và $A_5A_4$ cách đều đường thẳng $A_6A_3$.
Cho dãy số thực dương $(u_n)$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $k_n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $\sum_{i=1}^{k_n}1/i\ge\sum_{i=1}^n u_i$. Chứng minh rằng dãy $(k_{n+1}/k_n)$ có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Cho tam giác $A_1A_2A_3$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một đường tròn $(K_1)$ tiếp xúc với các cạnh $A_1A_2,A_1A_3$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ lần lượt tại các điểm $M_1,N_1,P_1$. Các điểm $M_1,N_2,P_2$ và $M_3,N_3,P_3$ xác định một cách tương tự. Chứng minh rằng các đoạn thẳng $M_1N_1,M_2N_2,M_3N_3$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
Cho $p>2$ là một số nguyên tố. Xét đa giác có $p$ cạnh với một con khỉ tại mỗi đỉnh. Người ta cho $p$ hạt đậu cho mỗi con khỉ với quy tắc như sau: Hạt đậu đầu tiên được cho một con khỉ nào đó, hạt đậu tiếp theo cho con khỉ ở đỉnh thứ ba tính từ vị trí của con khỉ nhận được hạt đậu đầu tiên theo chiều kim đồng hồ, hạt đậu thứ ba được cho con khỉ thứ năm tính từ vị trí con khỉ được nhận hạt đậu thứ hai theo chiều kim đồng hồ và cứ như thế. Tức là hạt đậu thứ $k+1$ được cho con khỉ tại đỉnh thứ $2k+1$ tính từ vị trí của con khỉ được nhận hạt đậu thứ $k$.
1. Hỏi có bao nhiêu con khỉ không được nhận hạt đậu nào?
2. Có bao nhiêu cạnh của đa giác có tính chất cả hai con khỉ ở đầu và cuối của cạnh đó đều nhận được các hạt đậu?