VMO 1998 — Bảng A

Xác định dãy $\{x_n\}$ bởi $x_1=a\ge1$,
$$x_{n+1}=1+\ln\frac{x_n(x_n^2+3)}{1+3x_n^2}.$$
Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và xác định giới hạn của nó.

Cho $O$ là tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Giả sử rằng $A',B',C',D'$ là các điểm trên mặt cầu ngoại tiếp đó sao cho $AA',BB',CC',DD'$ là các đường kính. Kí hiệu $A''$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Các điểm $B'',C'',D''$ xác định tương tự. Chứng minh rằng các đường thẳng $A'A'',B'B'',C'C'',D'D''$ là đồng quy. Giả sử rằng chúng gặp nhau tại $X$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm $X$ và trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là vuông góc với $CD$.

Cho dãy $a_0,a_1,a_2,\ldots$ được xác định bởi $a_0=20$, $a_1=100$,
$$a_{n+2}=4a_{n+1}+5a_n+20.$$
Hãy xác định số nguyên dương $m$ bé nhất thỏa mãn $a_m-a_0,a_{m+1}-a_1,a_{m+2}-a_2,\ldots$ là chia hết cho $1998$.

Tồn tại hay không một dãy số thực vô hạn $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn $|x_n|\le0.666$ và
$$|x_m-x_n|\ge\frac1{n^2+n+m^2+m}$$
với mọi $m,n$ nguyên dương phân biệt?

Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
$$\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}$$
với $x,y$ là các biến thực.

Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại đa thức $p(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$$p\left(x^{1998}+\frac1{x^{1998}}\right)=x^n+\frac1{x^n}.$$