SMO 2023 - Senior - Vòng 1

Câu hỏi 1

Tìm $m$ sao cho biểu thức $2x^2+3x+m$ có giá trị nhỏ nhất bằng $9$.

$9/8$
$-9/8$
$81/8$
$-81/8$
$63/8$

Câu hỏi 2

Khẳng định nào sau đây đúng?

$\sin105^\circ-\cos105^\circ=\sqrt3/2$
$\sin105^\circ-\cos105^\circ=\sqrt3/\sqrt2$
$\sin105^\circ+\cos105^\circ=1/2$
$\sin105^\circ+\cos105^\circ=1/\sqrt3$
Không có khẳng định nào ở trên đúng.

Câu hỏi 3

Nếu $\log_{\sqrt2}x=10-3\log_{\sqrt2}10$, hãy tìm $x$.

$0.32$
$0.032$
$0.0032$
$0.64$
$0.064$

Câu hỏi 4

Nếu $(x-5)^2+(y-5)^2=5^2$, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của $(x+5)^2+(y+5)^2$.

$225-100\sqrt2$
$225+100\sqrt2$
$225\sqrt2$
$100\sqrt2$
Không có đáp án nào ở trên đúng.

Câu hỏi 5

Giả sử $\cos(180^\circ+x)=4/5$, với $90^\circ\lt x\lt 180^\circ$. Tính $\tan(2x)$.

$24/7$
$7/24$
$-24/7$
$-7/24$
$-24/25$

Câu hỏi 6

Giả sử phương trình $x^2+11x+3=0$ có nghiệm $p,q$, còn phương trình $x^2+Bx-C=0$ có nghiệm $p+1,q+1$. Tìm $C$.

Câu hỏi 7

Nếu giá trị nhỏ nhất của $(A-x)(23-x)(A+x)(23+x)$ bằng $-(48)^2$, hãy tìm $A$ biết $A\gt 0$.

Câu hỏi 8

Tìm số nguyên dương lẻ nhỏ nhất lớn hơn $1$ là ước của $(2023)^{2023}+(2026)^{2026}+(2029)^{2029}$.

Câu hỏi 9

Tìm số dư của $7^{2023}+9^{2023}$ khi chia cho $64$.

Câu hỏi 10

Cho $x,y,z\gt 1$ và số dương $A$ thỏa mãn $\log_x A=30$, $\log_y A=50$ và $\log_{xy}(Az)=150$. Tính $(\log_A z)^2$.

Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn
$$\frac{3^{10}-2^{10}}{10!}\left(\frac1{1!9!2}+\frac1{2!8!2^2}+\frac1{3!7!2^3}+\cdots+\frac1{9!1!2^9}\right)^{-1}.$$
Ở đây $n!=n\cdot(n-1)\cdots3\cdot2\cdot1$. Ví dụ $5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$.

Câu hỏi 12

Xét hệ phương trình
$$\begin{aligned}xy^2+xyz&=91,\\xyz-y^2z&=72,\end{aligned}$$
trong đó $x,y,z$ là các số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của $xz$.

Câu hỏi 13

Cho số thực $x$ thỏa mãn
$$\frac{\sin^4x+\cos^4x}{\sin^2x+\cos^4x}=\frac8{11}.$$
Biết $\sin^2x\gt 1/2$, tính $\sqrt{28}(\sin^4x-\cos^4x)$.

Câu hỏi 14

Dãy $a_1,a_2,\ldots$ được xác định bởi
$$a_1=5,\quad a_2=7,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+1}{a_{n-1}}\quad n\ge2.$$
Tính $100\times a_{2023}$.

Câu hỏi 15

Cho hằng số $C$ sao cho phương trình $5\cos x+6\sin x-C=0$ có hai nghiệm phân biệt $a,b$, với $0\lt b\lt a\lt \pi$. Tính $61\times\sin(a+b)$.

Câu hỏi 16

Trong hình dưới, $CE$ tiếp xúc với đường tròn tại $D$, $AD$ là đường kính, và $A,B,C$ cũng như $A,F,E$ thẳng hàng. Biết $AB/AC=16/41$ và $AF/AE=49/74$. Đặt $\tan(\angle CAE)=m/n$, với $m,n$ là các số nguyên dương và $m/n$ tối giản. Tìm $m+n$.

Hình minh họa câu hỏi