Cho tam giác không cân $ABC$ có trọng tâm $G$ và đường tròn ngoại tiếp $\omega$ tâm $O$. Đường thẳng $AG$ kéo dài gặp $\omega$ tại $M$; các đường thẳng $AB$ và $CM$ cắt nhau tại $P$, còn $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $Q$. Giả sử tâm ngoại tiếp $S$ của tam giác $APQ$ nằm trên $\omega$ và $A,O,S$ thẳng hàng. Chứng minh rằng $\angle AGO=90^\circ$.
Một lưới ô được lát bằng các quân đô-mi-nô sao cho mỗi ô được phủ bởi đúng một quân. Chọn một tập con $S$ các quân đô-mi-nô. Có đúng rằng ít nhất một trong hai phát biểu sau là sai không?
(1) Trong $S$, số quân nằm ngang nhiều hơn số quân thẳng đứng $2022$ quân.
(2) Các ô được phủ bởi các quân trong $S$ có thể được lát kín, không chồng lấn, bằng các tetromino dưới đây (cho phép quay và đối xứng):
Cho số nguyên dương $n\ge2$. Với mỗi số nguyên $a$, gọi $Q_a(x)$ là đa thức $x^n+ax$. Cho $p$ là số nguyên tố và $S_a$ là tập
$$S_a=\{b\mid0\le b\le p-1,\ \exists c\in\mathbb Z,\ Q_a(c)\equiv b\pmod p\}.$$
Chứng minh rằng biểu thức $\dfrac1{p-1}\sum_{a=1}^{p-1}|S_a|$ là một số nguyên.
Xác định tất cả các số thực $x$ nằm giữa $0$ và $180$ sao cho có thể chia một tam giác đều thành hữu hạn tam giác, mỗi tam giác có một góc bằng $x^\circ$.
