SMO 2023 - Senior - Vòng 2

Cho hình vuông $ABCD$, điểm $E$ nằm trên cạnh $DC$; $F$ và $G$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ đến $AE$ và từ $A$ đến $BE$. Giả sử $DF$ và $CG$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng $\angle AHB=90^\circ$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $a^2+4=(k^2-4)b^2$.

Cho số nguyên dương $n$. Có $n$ hòn đảo được nối bằng $n-1$ cây cầu sao cho đi được từ bất kỳ đảo nào đến đảo khác. Một buổi chiều, lửa bùng lên ở một đảo. Mỗi buổi sáng, lửa lan đến tất cả các đảo lân cận. (Hai đảo là lân cận nếu được nối bằng một cây cầu.) Để khống chế lửa, mỗi đêm người ta phá một cây cầu cho đến khi hôm sau lửa không còn nơi nào để lan tới. Gọi $X$ là số cầu ít nhất phải phá trước khi lửa ngừng lan. Tìm giá trị lớn nhất của $X$ trên mọi cấu hình cầu, đảo và mọi vị trí lửa bắt đầu.

Tìm tất cả các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $n!+2^{n-1}=2^m$.

Tô lưới vuông $20000\times20000$ bằng $2000$ màu khác nhau, mỗi ô đúng một màu. Hai ô là lân cận nếu có chung một đỉnh. Một đường đi là một dãy ô sao cho hai ô liên tiếp là lân cận. Đánh dấu $k$ ô. Với mỗi ô chưa đánh dấu $x$, có đúng một ô đã đánh dấu $y$ cùng màu sao cho $x$ và $y$ được nối bằng đường đi chỉ gồm các ô cùng màu. Với bất kỳ hai ô đã đánh dấu cùng màu nào, mọi đường đi nối chúng phải đi qua các ô mang đủ tất cả các màu. Tìm giá trị lớn nhất của $k$.