SMO 2023 - Open - Vòng 1

Đồ thị $C$ có phương trình $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{x+2}$ có tiệm cận xiên $y=4x-6$ và một điểm dừng có hoành độ $x=-4$. Tính $a+b+c$.

Nếu $x=\dfrac11+\dfrac1{1+2}+\dfrac1{1+2+3}+\dfrac1{1+2+3+4}+\cdots+\dfrac1{1+2+3+\cdots+100}$, tính $\lfloor1010x\rfloor$.

Tập các giá trị $x$ để tổng chuỗi vô hạn $$1+\frac16(x^2-5x)+\frac1{6^2}(x^2-5x)^2+\frac1{6^3}(x^2-5x)^3+\cdots$$ tồn tại có dạng $(a,b)\cup(c,d)$, với $a\lt b\lt c\lt d$. Tính $d-a$.

Tính $\lfloor y\rfloor$, trong đó $y=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}(2k+1)(0{,}5)^{2k}$.

(Gợi ý: Xét khai triển chuỗi của $(1-x)^{-2}$.)

Tập nghiệm của bất phương trình $|x-1|+|x+1|\lt ax+b$ là $-1\lt x\lt 2$. Tính $\lfloor a+b\rfloor$.

Phương trình $x^4-4x^2+qx-r=0$ có ba nghiệm bằng nhau. Tính $\left\lfloor\dfrac{3q^2}{r^2}\right\rfloor$.

Hai parabol $y=x^2-16x+50$ và $x=y^2$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn tâm $(a,b)$. Tính $|a-b|$.

Trong không gian Euclid ba chiều có gốc $O$ và ba trục $x,y,z$ đôi một vuông góc, hai mặt phẳng $x+y+3z=4$ và $2x-z=6$ cắt nhau theo đường thẳng $$\mathbf r\times\begin{pmatrix}-1\\a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\c\\d\end{pmatrix}.$$ Tính $|a+b+c+d|$.

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa $3x+4y+5z=100$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x^2+y^2+z^2$.

Tìm diện tích miền được biểu diễn bởi phương trình $\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor=1$ trong miền $0\le x\lt 2$.

(Lưu ý: Nếu cho rằng đồ thị không xác định diện tích nào, ghi “0”; nếu cho rằng diện tích vô hạn, ghi “9999”.)

Cho tam giác $ABC$ thỏa $\angle A+\angle C=2\angle B$ và $\dfrac1{\cos A}+\dfrac1{\cos C}=\dfrac{-\sqrt2}{\cos B}$. Tính $\dfrac{2022\cos\left(\frac{A-C}{2}\right)}{\sqrt2}$.

Tìm $x$ thỏa phương trình $$\frac{x-2019}{1}+\frac{x-2018}{2}+\frac{x-2017}{3}+\cdots+\frac{x+2}{2022}+\frac{x+3}{2023}=2023.$$

Giả sử $x$ là số dương thỏa $x-\dfrac1x=3$ và $$\frac{x^{10}+x^8+x^2+1}{x^{10}+x^6+x^4+1}=\frac mn,$$ trong đó $m,n$ là các số nguyên dương không có ước chung lớn hơn $1$. Tính $m+n$.

Xét tất cả các cặp số thực $(x,y)$ thỏa $(x-4)^2+(y-3)^2=9$. Nếu $S$ là giá trị lớn nhất của $\dfrac yx$, tính $\lfloor7S\rfloor$.

Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa $16x^2+y^2+7xy\le2023$. Tìm giá trị lớn nhất của $4x+y$.

Gọi $x$ là số thực lớn nhất thỏa $$\sqrt{x-\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}=x.$$ Tính $(2x-1)^4$.

Hai số nguyên dương $m,n$ hơn kém nhau $10$, và mọi chữ số trong biểu diễn thập phân của $mn$ đều bằng $9$. Tính $m+n$.

Cho dãy số dương $\{a_n\}$ và $S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$. Với mọi số nguyên dương $n$, đặt $b_n=\dfrac12\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right)$. Biết $\dfrac{a_n+2}{2}=\sqrt{2S_n}$ đúng với mọi số nguyên dương $n$, tính giới hạn $\lim_{n\to\infty}(b_1+b_2+\cdots+b_n-n)$.

Cho tam giác $ABC$ với $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$, thỏa $\tan C=\dfrac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}$, $\sin(B-A)=\cos C$ và diện tích tam giác $ABC$ bằng $3+\sqrt3$. Tính $a^2+c^2$.

Cho $g:\mathbb R\to\mathbb R$, $g(0)=4$ và $$g(xy+1)=g(x)g(y)-g(y)-x+2023.$$ Tìm $g(2023)$.