SMO 2020 - Senior - Vòng 1

Cho $b$ là số nguyên dương. Nếu giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai $5x^2+bx+506$ bằng $6$, hãy tìm $b$.

Biểu thức nào sau đây bằng $\sqrt{5+\sqrt3}+\sqrt{5-\sqrt3}$?

Rút gọn $\log_8 5\cdot(\log_5 3+\log_{25}9+\log_{125}27)$.

Cho $a=50^{1/505}$, $b=10^{1/303}$ và $c=6^{1/202}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho $p=\log_{10}(\sin x)$, $q=(\sin x)^{10}$, $r=10^{\sin x}$, với $0\lt x\lt \dfrac\pi2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $|x-10|-|x-20|+|x-30|$, với $x$ là số thực bất kỳ.

Hình bình hành $ABCD$ có các cạnh $AB=39$ cm, $BC=25$ cm. Tìm độ dài đường chéo $AC$ (tính bằng cm) nếu đường chéo $BD=34$ cm.

Giả sử $\sin(45^\circ-x)=-\dfrac13$, với $45^\circ\lt x\lt 90^\circ$. Tìm $(6\sin x-\sqrt2)^2$.

Nếu $8\cos x-8\sin x=3$, hãy tìm $55\tan x+\dfrac{55}{\tan x}$.

Tìm số cặp có thứ tự $(x,y)$, trong đó $x,y$ là các số nguyên, sao cho
$$x^2+y^2-20x-14y+140\lt 0.$$

Hình dưới biểu diễn tam giác vuông $ABC$ với $\angle BAC=90^\circ$, $\angle ABC=30^\circ$, $AB=48$ cm. Điểm $P$ nằm trên $AB$ sao cho $CP$ là phân giác của $\angle ACB$; điểm $Q$ nằm trên $BC$ sao cho đường thẳng $AQ$ vuông góc với $CP$. Xác định độ dài $PQ$.



Ghi chú biên tập: bản quét được giữ lại có các ghi chú viết tay. Chỉ sử dụng các dữ kiện in được chép lại ở trên; lời giải có hình mới sạch, đã được kiểm tra.

Trong hình dưới, $O$ là tâm đường tròn, $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$, $\angle AEB=70^\circ$, $\angle AOB=62^\circ$. Tìm số đo $\angle OCD$ (đơn vị độ $^\circ$).



Ghi chú biên tập: bản quét được giữ lại có các ghi chú viết tay. Chỉ sử dụng các dữ kiện in được chép lại ở trên; lời giải có hình mới sạch, đã được kiểm tra.

Tìm giá trị của $\dfrac{4\cos43^\circ}{\sin73^\circ}-\dfrac{12\sin43^\circ}{\sqrt3\sin253^\circ}$.

Nếu $\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{7}=1$, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của $(x+y)^2$.

Tìm hệ số của $x^6$ trong khai triển $(1+x+2x^2)^7$.

Giả sử $(3x-y)^2+\sqrt{x+38+14\sqrt{x-11}}+|z+x-y|=7$. Tìm $|x+y+z|$.

Giả sử các số thực $x,y,z$ thỏa mãn
$$x+y+z=60,\qquad xy-z^2=900.$$
Tìm giá trị lớn nhất có thể của $|z|$.

Tính tổng $\displaystyle\sum_{k=1}^{16}\log_2\left(\sqrt{\sin^2\frac{k\pi}{8}+1}-\sin\frac{k\pi}{8}\right)$.

Cho các số thực dương $a,b$ với $a>b$. Giả sử tồn tại số thực $x$ sao cho $(\log_2 ax)(\log_2 bx)+25=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $\dfrac ab$.

Hình dưới biểu diễn hình chữ nhật $ABCD$ có đường chéo $AC=20$ cm. Điểm $P$ nằm trên $CD$ sao cho $BP$ vuông góc với $AC$. Tìm diện tích hình chữ nhật $ABCD$ (tính bằng $\mathrm{cm}^2$) nếu $BP=15$ cm.