SMO 2020 - Junior - Vòng 1

Cho $x=2^{300}$, $y=3^{200}$ và $z=6^{100}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Một bức tranh đắt tiền bị đánh cắp và cảnh sát tập hợp năm nghi phạm Alfred, Boris, Chucky, Dan và Eddie. Sau đây là những lời khai được ghi lại.

Alfred: “Hoặc Boris hoặc Dan đã lấy trộm bức tranh.”

Boris: “Tôi nghĩ Dan hoặc Eddie là thủ phạm.”

Chucky: “Chắc chắn là Dan.”

Dan: “Boris hoặc Eddie đã làm việc đó!”

Eddie: “Tôi hoàn toàn chắc chắn kẻ trộm là Alfred.”

Cảnh sát biết chỉ một trong năm nghi phạm lấy trộm bức tranh và cả năm đều nói dối. Ai đã lấy trộm bức tranh?

Hình sau biểu diễn một hệ cân treo từ trần với ba loại quả cân. Mỗi đòn cân nghiêng xuống về phía nặng hơn. Nếu dùng $\square\lt \triangle$ để biểu thị $\square$ nhẹ hơn $\triangle$, khẳng định nào sau đây đúng?

Số nguyên $6$ có đúng bốn ước dương là $1,2,3,6$. Tương tự, số nguyên $8$ có đúng bốn ước dương là $1,2,4,8$. Có bao nhiêu số nguyên từ $9$ đến $50$ (kể cả hai đầu) có đúng bốn ước dương?

Một công ty bán nước ép với giá 1 đô-la mỗi chai và tặng một chai miễn phí nếu bạn đổi bốn vỏ chai rỗng. Giả sử ưu đãi không giới hạn số lần và bạn có thể tiếp tục đổi vỏ những chai nhận được từ ưu đãi, số chai lớn nhất cuối cùng bạn có thể uống là bao nhiêu nếu có 43 đô-la?

Cho $n$ là số nguyên dương. Biết bội chung nhỏ nhất của $4,5,n$ là $2020$. Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất có thể của $n$ bằng bao nhiêu?

Khi chia số nguyên có năm chữ số $\overline{2x6yx}$ cho số nguyên có bốn chữ số $\overline{5y27}$, được thương $4$ và số dư $\overline{x106}$ là một số nguyên có bốn chữ số. Chữ số $x$ bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu bội của $11$ trong dãy $1100,1101,1102,\ldots,2019,2020$?

Bộ bốn số nguyên dương $(a,b,c,d)$ được gọi là lệch nếu trung vị và mốt của $a,b,c,d$ bằng nhau, nhưng lớn hơn nghiêm ngặt trung bình cộng của $a,b,c,d$. Có bao nhiêu bộ bốn lệch $(a,b,c,d)$ thỏa $a\le b\le c\le d$ và $a+b+c+d=40$?

Cho $T_n$ là dãy tuyến tính với
$$T_1=10,\ T_2=13,\ T_3=16,\ldots,$$
và $S_n$ là dãy bậc hai với
$$S_1=10,\ S_2=23,\ S_3=39,\ldots.$$
Tìm $S_{101}-T_{101}$.

Cho tam giác $ABC$, trong đó $D$ là trung điểm của $BC$, còn $E$ nằm trên $AC$ sao cho $AE:EC=3:1$. Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và $BE$. Nếu diện tích $ABC$ bằng $280$, diện tích tam giác $BFD$ bằng bao nhiêu?

Trong hình dưới, mỗi chữ cái khác nhau biểu thị một chữ số khác nhau sao cho phép tính đúng. Nếu chữ K biểu thị $6$, SHAKE biểu thị số nào?
$$\begin{array}{rrrrrr}&S&H&A&K&E\\+&S&H&A&K&E\\\hline R&A&T&T&L&E\end{array}$$

Hình dưới là một miền tạo bởi bốn nửa đường tròn có bán kính là các số nguyên phân biệt. Nếu miền có chu vi $18\pi$ và diện tích $k\pi$, trong đó $k$ nguyên tố, thì $k$ bằng bao nhiêu?

Nếu tổng độ dài hai đường chéo của một hình diều bằng $100$, diện tích lớn nhất có thể của hình diều bằng bao nhiêu?

Số nguyên có năm chữ số nhỏ nhất dạng $\overline{5x20y}$ chia hết cho $33$ là số nào?

Giá trị của $2020^3-9(2020)(2017)-2017^3$ bằng bao nhiêu?

Trong hình sau, $ABCD$ là hình chữ nhật, $E,F$ lần lượt nằm trên $BC,CD$. Diện tích tam giác $AEF$, ký hiệu $[AEF]$, bằng $2037$. Nếu
$$[AECF]=2[ABE]=3[ADF],$$
thì diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng bao nhiêu?

Trong hình sau, $ABCD$ là hình vuông có cạnh $64$. $E$ là trung điểm của $AB$, $F$ là trung điểm của $EC$, $G$ là trung điểm của $FD$. Diện tích tứ giác $AEFG$ bằng bao nhiêu?

Gọi $X=1234\cdots78798081$ là số nguyên được tạo bằng cách viết liên tiếp tất cả các số nguyên từ $1$ đến $81$ từ trái sang phải. Số dư khi chia $X$ cho $2020$ là bao nhiêu?

Cho $A=\dfrac17\times3.14\dot1\dot5$, trong đó $3.14\dot1\dot5$ là số hữu tỉ có nhóm chữ số lặp lại $15$. Nói cách khác,
$$3.14\dot1\dot5=3.14+0.0015+0.000015+0.00000015+\cdots.$$
Giả sử $A=\dfrac mn$, với $m,n$ là các số nguyên dương không có ước chung lớn hơn $1$. Tìm $m+n$.