AIME I năm 2009

Gọi một số có $3$-chữ số *hình học* nếu nó có $3$ các chữ số riêng biệt mà khi đọc từ trái sang phải sẽ tạo thành cấp số nhân. Tìm sự khác biệt giữa các số hình học lớn nhất và nhỏ nhất.

Có một số phức $z$ có phần ảo $164$ và một số nguyên dương $n$ sao cho $$
\frac{z}{z + n} = 4i.
$$ Tìm $n.$

Một đồng xu xuất hiện mặt ngửa với xác suất $p \gt 0$ và mặt sấp với xác suất $1 - p \gt 0$ độc lập trong mỗi lần lật sẽ được tung tám lần. Giả sử xác suất của ba mặt ngửa và năm mặt ngửa bằng $\frac{1}{25}$ của xác suất của năm mặt ngửa và ba mặt sấp. Đặt $p = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Trong hình bình hành $ABCD,$ điểm $M$ nằm trên $\overline{AB}$ sao cho $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},$ và điểm $N$ nằm trên $\overline{AD}$ sao cho $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.$ Giả sử $P$ là giao điểm của $\overline{AC}$ và $\overline{MN}.$ Tìm $\frac{AC}{AP}.$

Tam giác $ABC$ có $AC = 450$ và $BC = 300.$ Điểm $K$ và $L$ lần lượt nằm trên $\overline{AC}$ và $\overline{AB}$ sao cho $AK = CK,$ và $\overline{CL}$ là góc phân giác của góc $C.$ Gọi $P$ là giao điểm của $\overline{BK}$ và $\overline{CL},$ và gọi $M$ là điểm trên đường thẳng $BK$ trong đó $K$ là trung điểm của $\overline{PM}.$ Nếu $AM = 180,$ tìm $LP.$

Có bao nhiêu số nguyên dương $N$ nhỏ hơn $1000$ sao cho phương trình $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ có nghiệm cho $x?$ (Ký hiệu $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$)

Chuỗi $(a_n)$ thỏa mãn $a_1 = 1$ và $5^{(a_{n+1} - a_n)} - 1 = \frac{1}{n + \frac{2}{3}}$ cho $n \ge 1.$ Giả sử $k$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $1$ trong đó $a_k$ là số nguyên. Tìm $k.$

Đặt $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10}\}.$ Xem xét tất cả các khác biệt dương có thể có của các cặp phần tử của $S.$ Đặt $N$ là tổng của tất cả những khác biệt này. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Một game show trao cho thí sinh ba giải $A,$ $B$ và $C,$, mỗi giải có giá trị bằng số đô la từ $\$1$ đến $\$9999$. Thí sinh sẽ trúng giải khi đoán đúng giá của từng giải theo thứ tự $A,$ $B,$ $C.$ Như một gợi ý, các chữ số của ba giá sẽ được đưa ra. Vào một ngày cụ thể, các chữ số đã cho là $1,$ $1,$ $1,$ $1,$ $3,$ $3,$ $3.$ Tìm tổng số lần đoán có thể có cho cả ba giải thưởng phù hợp với gợi ý.

Kỳ thi Toán liên hành tinh hàng năm (AIME) được viết bởi một ủy ban gồm năm người sao Hỏa, năm người sao Kim và năm người Trái đất. Tại các cuộc họp, các thành viên ủy ban ngồi tại một bàn tròn có ghế được đánh số từ $1$ đến $15$ theo thứ tự theo chiều kim đồng hồ. Các quy định của Ủy ban nêu rõ rằng Người sao Hỏa phải ngồi ghế $1$ và Người Trái đất phải ngồi ghế $15.$ Hơn nữa, không người Trái đất nào có thể ngồi ngay bên trái người Sao Hỏa, không người sao Hỏa nào có thể ngồi ngay bên trái người sao Kim và không người sao Kim nào có thể ngồi ngay bên trái người Trái đất. Số cách sắp xếp chỗ ngồi có thể có cho ủy ban là $N \cdot (5!)^3.$ Tìm $N.$

Xét tập hợp tất cả các tam giác $OPQ$ trong đó $O$ là gốc và $P$ và $Q$ là các điểm phân biệt trong mặt phẳng có tọa độ nguyên không âm $(x, y)$ sao cho $41x + y = 2009.$ Tìm số lượng các tam giác phân biệt có diện tích là dương số nguyên.

Ở bên phải $\triangle ABC$ với cạnh huyền $\overline{AB},$ $AC = 12,$ $BC = 35,$ và $\overline{CD}$ là độ cao tới $\overline{AB}.$ Giả sử $\omega$ là đường tròn có đường kính $\overline{CD}$. Giả sử $I$ là một điểm bên ngoài $\triangle ABC$ sao cho $\overline{AI}$ và $\overline{BI}$ đều tiếp tuyến với đường tròn $\omega.$ Tỷ lệ của chu vi của $\triangle ABI$ với độ dài $AB$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Các số hạng của dãy $(a_i)$ được xác định bởi $a_{n+2} = \frac{a_n + 2009}{1 + a_{n+1}}$ cho $n \ge 1$ là các số nguyên dương. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $a_1 + a_2.$

Đối với $t = 1,$ $2,$ $3,$ $4,$ xác định $S_t = \sum_{i=1}^{350} a_i^t,$ trong đó $a_i \in \{1, 2, 3, 4\}.$ Nếu $S_1 = 513$ và $S_4 = 4745,$ tìm giá trị tối thiểu có thể có cho $S_2.$

Trong tam giác $ABC,$ $AB = 10,$ $BC = 14,$ và $CA = 16.$ Giả sử $D$ là một điểm nằm bên trong $\overline{BC}.$ Giả sử $I_B$ và $I_C$ biểu thị tâm nội tiếp của các tam giác $ABD$ và $ACD,$ tương ứng. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BI_BD$ và $CI_CD$ gặp nhau tại các điểm phân biệt $P$ và $D.$ Giá trị lớn nhất diện tích của $\triangle BPC$ có thể được biểu diễn dưới dạng $a - b\sqrt{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c.$