Ta gọi một số nguyên dương là *số nắng* nếu nó có bốn chữ số và hơn nữa mỗi chữ số ở hai đầu đều lớn hơn đúng 1 so với chữ số đứng cạnh nó. Chẳng hạn, các số $8723$ và $1001$ là số nắng, nhưng $1234$ và $87245$ thì không.
a) Có bao nhiêu số nắng mà gấp đôi số đó cũng lại là một số nắng?
b) Chứng minh rằng mọi số nắng lớn hơn $2000$ đều chia hết cho một số có ba chữ số mà chữ số ở giữa là $9$.
Tìm tất cả các bộ bốn $(a, b, c, d)$ gồm các số nguyên không âm sao cho $ab = 2(1 + cd)$ và tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài các cạnh là $a - c$, $b - d$ và $c + d$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $|AB| \gt |CA| \gt |BC|$. Các điểm $D$, $E$ và $F$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A$, $B$ và $C$. Đường thẳng qua $F$ song song với $DE$ cắt $BC$ tại $M$. Đường phân giác của $\angle MFE$ cắt $DE$ tại $N$. Chứng minh rằng $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle DMN$ khi và chỉ khi $B$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle FMN$.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Với số thực $x \ge 1$, giả sử $\lfloor x^{n+1} \rfloor, \lfloor x^{n+2} \rfloor, \dots, \lfloor x^{4n} \rfloor$ đều là bình phương của các số nguyên dương. Chứng minh rằng $\lfloor x \rfloor$ cũng là bình phương của một số nguyên dương.
Ở đây $\lfloor z \rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $z$.
Cho hai đường tròn $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ có tâm $O_1$ và $O_2$ và hai tiếp tuyến chung ngoài $\ell_1$ và $\ell_2$. Đường thẳng $\ell_1$ tiếp xúc với $\Gamma_1$ tại $A$ và với $\Gamma_2$ tại $B$. Cho $X$ là một điểm trên đoạn thẳng $O_1O_2$, không nằm trên $\Gamma_1$ hay $\Gamma_2$. Đoạn thẳng $AX$ cắt $\Gamma_1$ tại $Y \neq A$ và đoạn thẳng $BX$ cắt $\Gamma_2$ tại $Z \neq B$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $\Gamma_1$ tại $Y$ và tiếp tuyến của $\Gamma_2$ tại $Z$ cắt nhau trên $\ell_2$.
Với các số thực $x$ và $y$, ta định nghĩa $M(x, y)$ là số lớn nhất trong ba số $xy$, $(x-1)(y-1)$ và $x+y-2xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $M(x, y)$ khi $x$ và $y$ chạy trên tất cả các số thực thỏa mãn $0 \le x, y \le 1$.
Trong một dãy $a_1, a_2, \dots, a_{1000}$ gồm $1000$ số đôi một khác nhau, một cặp $(a_i, a_j)$ với $i \lt j$ được gọi là *tăng* nếu $a_i \lt a_j$ và *giảm* nếu $a_i \gt a_j$. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất có tính chất: mọi dãy gồm $1000$ số đôi một khác nhau đều có ít nhất $k$ cặp tăng không chồng lên nhau hoặc ít nhất $k$ cặp giảm không chồng lên nhau.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $|AB| \gt |CA| \gt |BC|$. Các điểm $D$, $E$ và $F$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A$, $B$ và $C$. Đường thẳng qua $F$ song song với $DE$ cắt $BC$ tại $M$. Đường phân giác của $\angle MFE$ cắt $DE$ tại $N$. Chứng minh rằng $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle DMN$ khi và chỉ khi $B$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle FMN$.
Tìm tất cả các bộ bốn $(a, b, c, d)$ gồm các số nguyên không âm sao cho $ab = 2(1 + cd)$ và tồn tại một tam giác không suy biến có độ dài các cạnh là $a - c$, $b - d$ và $c + d$.
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z}_{\gt 0} \rightarrow \mathbb{Z}_{\gt 0}$ sao cho $f(n) \mid f(m)-n$ khi và chỉ khi $n \mid m$, với mọi số tự nhiên $m$ và $n$.
Cho hai đường tròn $\Gamma_1$ và $\Gamma_2$ có tâm $O_1$ và $O_2$ và hai tiếp tuyến chung ngoài $\ell_1$ và $\ell_2$. Đường thẳng $\ell_1$ tiếp xúc với $\Gamma_1$ tại $A$ và với $\Gamma_2$ tại $B$. Cho $X$ là một điểm trên đoạn thẳng $O_1O_2$, không nằm trên $\Gamma_1$ hay $\Gamma_2$. Đoạn thẳng $AX$ cắt $\Gamma_1$ tại $Y \neq A$ và đoạn thẳng $BX$ cắt $\Gamma_2$ tại $Z \neq B$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $\Gamma_1$ tại $Y$ và tiếp tuyến của $\Gamma_2$ tại $Z$ cắt nhau trên $\ell_2$.
Cho $n\gt 1$ là một số nguyên. Có $n$ chiếc hộp xếp thành một hàng, và ta có $n+1$ viên đá giống hệt nhau. Một cách phân bố là một cách chia các viên đá vào các hộp, trong đó mỗi viên đá nằm trong đúng một hộp. Ta nói hai cách phân bố như vậy cách nhau một cú ném đá nếu có thể nhận được cách phân bố này từ cách phân bố kia bằng cách chuyển đúng một viên đá sang một hộp khác. Độ thân thiện của một cách phân bố $a$ được định nghĩa là số cách phân bố cách $a$ một cú ném đá. Tìm độ thân thiện trung bình trên tất cả các cách phân bố có thể.
(Hai cách phân bố được coi là như nhau nếu hộp thứ $i$ của cả hai hàng chứa cùng số viên đá, với mọi $i \in \{1,2, \ldots, n\}$.)
Cho $n$ là một số nguyên dương. Với số thực $x \ge 1$, giả sử $\lfloor x^{n+1} \rfloor, \lfloor x^{n+2} \rfloor, \dots, \lfloor x^{4n} \rfloor$ đều là bình phương của các số nguyên dương. Chứng minh rằng $\lfloor x \rfloor$ cũng là bình phương của một số nguyên dương.
Ở đây $\lfloor z \rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $z$.
Cho $ABC$ là một tam giác nhọn và $D$ là chân đường cao kẻ từ $A$. Đường tròn tâm $A$ đi qua $D$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $X$ và $Y$, trong đó thứ tự các điểm trên đường tròn ngoại tiếp này là $A, X, B, C, Y$. Chứng minh rằng $\angle B X D = \angle C Y D$.
Trên trần một căn phòng treo 15 bóng đèn, được đánh số từ 1 đến 15. Ban đầu tất cả các đèn đều tắt. Trong một phòng khác có 15 công tắc: một công tắc cho đèn 1 và 2, một công tắc cho đèn 2 và 3, một công tắc cho đèn 3 và 4, và cứ thế, cho đến một công tắc cho đèn 15 và 1. Khi gạt công tắc của một cặp đèn như vậy, mỗi đèn trong cặp đổi trạng thái (từ bật sang tắt hoặc ngược lại). Các công tắc được treo theo một thứ tự ngẫu nhiên và trông giống hệt nhau. Raymond muốn tìm ra công tắc nào ứng với cặp đèn nào. Từ phòng có công tắc, anh ấy không thể nhìn thấy các đèn. Tuy nhiên, anh ấy có thể gạt một số công tắc rồi đi sang phòng kia để xem những đèn nào đang bật. Anh ấy có thể làm điều này nhiều lần. Anh ấy phải đi sang phòng kia ít nhất bao nhiêu lần để biết chắc chắn mỗi công tắc ứng với cặp đèn nào?
Với các số thực $x$ và $y$, ta định nghĩa $M(x, y)$ là số lớn nhất trong ba số $xy$, $(x-1)(y-1)$ và $x+y-2xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $M(x, y)$ khi $x$ và $y$ chạy trên tất cả các số thực thỏa mãn $0 \le x, y \le 1$.
