Một con sông thẳng rộng 264 mét chảy từ tây sang đông với tốc độ 14 mét mỗi phút. Melanie và Sherry ngồi trên bờ nam của con sông, Melanie ở phía hạ lưu và cách Sherry một khoảng $D$ mét. So với dòng nước, Melanie bơi với tốc độ 80 mét mỗi phút, còn Sherry bơi với tốc độ 60 mét mỗi phút. Cùng một thời điểm, Melanie và Sherry bắt đầu bơi theo đường thẳng tới một điểm trên bờ bắc của con sông cách đều vị trí xuất phát của hai người. Hai người tới điểm này cùng một lúc. Tìm $D$.
Cho $x_1 \le x_2 \le \dots \le x_{100}$ là các số thực thỏa mãn $|x_1| + |x_2| + \dots + |x_{100}| = 1$ và $x_1 + x_2 + \dots + x_{100} = 0$. Trong tất cả các bộ 100 số như vậy, giá trị lớn nhất mà $x_{76} - x_{16}$ có thể đạt được là $\frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n$.
Tìm số cặp số nguyên có thứ tự $(a, b)$ sao cho dãy
$3, 4, 5, a, b, 30, 40, 50$
tăng thực sự và không có bộ bốn số hạng nào (không nhất thiết liên tiếp) lập thành một cấp số cộng.
Cho $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$, $i$ là các số nguyên đôi một phân biệt từ $1$ đến $9$. Giá trị dương nhỏ nhất có thể của
$$
\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}
$$
có thể viết dưới dạng $\frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n$.
Một đường tròn bán kính $6$ tiếp xúc ngoài với một đường tròn bán kính $24$. Tìm diện tích của miền tam giác giới hạn bởi ba tiếp tuyến chung của hai đường tròn này.
Tìm số các số nguyên dương $n \le 600$ mà giá trị của $n$ được xác định duy nhất khi biết các giá trị $\lfloor \frac{n}{4} \rfloor$, $\lfloor \frac{n}{5} \rfloor$ và $\lfloor \frac{n}{6} \rfloor$, trong đó $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số thực $x$.
Tam giác đều $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$ có bán kính $18$. Đường tròn $\omega_A$ tiếp xúc với các cạnh $\overline{AB}$ và $\overline{AC}$ và tiếp xúc trong với $\omega$. Các đường tròn $\omega_B$ và $\omega_C$ được định nghĩa tương tự. Các đường tròn $\omega_A$, $\omega_B$ và $\omega_C$ cắt nhau tại sáu điểm — mỗi cặp đường tròn có hai giao điểm. Ba giao điểm gần các đỉnh của $\triangle ABC$ nhất là các đỉnh của một tam giác đều lớn nằm bên trong $\triangle ABC$, và ba giao điểm còn lại là các đỉnh của một tam giác đều nhỏ hơn nằm bên trong $\triangle ABC$. Độ dài cạnh của tam giác đều nhỏ hơn có thể viết dưới dạng $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương. Tìm $a + b$.
Cho $\ell_A$ và $\ell_B$ là hai đường thẳng song song phân biệt. Với các số nguyên dương $m$ và $n$, các điểm phân biệt $A_1, A_2, A_3, \dots, A_m$ nằm trên $\ell_A$, và các điểm phân biệt $B_1, B_2, B_3, \dots, B_n$ nằm trên $\ell_B$. Ngoài ra, khi vẽ các đoạn thẳng $A_iB_j$ với mọi $i = 1, 2, 3, \dots, m$ và $j = 1, 2, 3, \dots, n$, không có điểm nào nằm thực sự giữa $\ell_A$ và $\ell_B$ thuộc nhiều hơn hai đoạn thẳng. Tìm số miền bị chặn mà hình này chia mặt phẳng thành khi $m = 7$ và $n = 5$. Hình vẽ cho thấy có 8 miền khi $m = 3$ và $n = 2$.
Ellina có mười hai khối gỗ, mỗi màu đỏ (R), xanh dương (B), vàng (Y), xanh lá (G), cam (O) và tím (P) có hai khối. Gọi một cách xếp các khối là *chẵn* nếu giữa mỗi cặp khối cùng màu có một số chẵn khối. Ví dụ, cách xếp RBBYGGYROPPO là chẵn. Ellina xếp các khối thành một hàng theo thứ tự ngẫu nhiên. Xác suất để cách xếp của cô là chẵn bằng $\frac{m}{n}$, trong đó *m* và *n* là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n$.
Ba mặt cầu có bán kính $11$, $13$ và $19$ đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Một mặt phẳng cắt ba mặt cầu theo ba đường tròn bằng nhau có tâm lần lượt là $A$, $B$ và $C$, và tâm của cả ba mặt cầu đều nằm cùng một phía đối với mặt phẳng này. Giả sử $AB^2 = 560$. Tìm $AC^2$.
Cho $ABCD$ là hình bình hành với $\angle BAD \lt 90^\circ$. Một đường tròn tiếp xúc với các cạnh $DA$, $AB$ và $BC$ cắt đường chéo $AC$ tại các điểm $P$ và $Q$ với $AP \lt AQ$, như hình vẽ. Giả sử $AP = 3$, $PQ = 9$ và $QC = 16$. Khi đó diện tích của $ABCD$ có thể biểu diễn dưới dạng $m\sqrt{n}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $n$ không chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m+n$.
Cho $a$, $b$, $x$ và $y$ là các số thực với $a \gt 4$ và $b \gt 1$ sao cho
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 16} = \frac{(x - 20)^2}{b^2 - 1} + \frac{(y - 11)^2}{b^2} = 1.
$$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a + b$.
Cho $a$, $b$, $x$ và $y$ là các số thực với $a \gt 4$ và $b \gt 1$ sao cho
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 16} = \frac{(x - 20)^2}{b^2 - 1} + \frac{(y - 11)^2}{b^2} = 1.
$$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a + b$.
Với mỗi tập hợp hữu hạn $X$, kí hiệu $|X|$ là số phần tử của $X$. Định nghĩa
$$
S_n = \sum |A \cap B|,
$$
trong đó tổng được lấy trên tất cả các cặp có thứ tự $(A, B)$ sao cho $A$ và $B$ là các tập con của $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ với $|A| = |B|$. Ví dụ, $S_2 = 4$ vì tổng được lấy trên các cặp tập con
$$
(A, B) \in \{(\emptyset, \emptyset), (\{1\}, \{1\}), (\{1\}, \{2\}), (\{2\}, \{1\}), (\{2\}, \{2\}), (\{1, 2\}, \{1, 2\})\},
$$
cho $S_2 = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 2 = 4$. Đặt $\frac{S_{2022}}{S_{2021}} = \frac{p}{q}$, trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm số dư khi chia $p+q$ cho 1000.
Có một đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho
$$
P(x) = \frac{(x^{2310} - 1)^6}{(x^{105} - 1)(x^{70} - 1)(x^{42} - 1)(x^{30} - 1)}
$$
đúng với mọi $0 \lt x \lt 1$. Tìm hệ số của $x^{2022}$ trong $P(x)$.
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số hữu tỉ có thể biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn $0.\overline{abcd}$, trong đó ít nhất một trong các chữ số $a, b, c$ hoặc $d$ khác không. Gọi $N$ là số các tử số phân biệt nhận được khi các số trong $S$ được viết dưới dạng phân số tối giản. Ví dụ, cả $4$ và $410$ đều được tính trong số các tử số phân biệt của các số trong $S$ vì $0.\overline{3636} = \frac{4}{11}$ và $0.\overline{1230} = \frac{410}{3333}$. Tìm số dư khi chia $N$ cho 1000.
Với các số nguyên dương $a, b$ và $c$ thỏa mãn $a \lt b \lt c$, xét các bộ sưu tập tem có mệnh giá $a, b$ và $c$ xu chứa ít nhất một con tem của mỗi mệnh giá. Nếu tồn tại một bộ sưu tập như vậy chứa các bộ con có tổng giá trị bằng mọi số nguyên xu cho đến 1000 xu, gọi $f(a, b, c)$ là số con tem ít nhất trong một bộ sưu tập như vậy. Tìm tổng của ba giá trị nhỏ nhất của $c$ sao cho $f(a, b, c) = 97$ với một cách chọn $a$ và $b$ nào đó.
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài $\omega_1$ và $\omega_2$ có tâm lần lượt là $O_1$ và $O_2$. Đường tròn thứ ba $\Omega$ đi qua $O_1$ và $O_2$ cắt $\omega_1$ tại $B$ và $C$, cắt $\omega_2$ tại $A$ và $D$, như hình vẽ. Giả sử $AB = 2$, $O_1O_2 = 15$, $CD = 16$, và $ABO_1CDO_2$ là một lục giác lồi. Tìm diện tích của lục giác này.
Cho $x$, $y$ và $z$ là các số thực dương thỏa mãn hệ phương trình
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2x - xy} + \sqrt{2y - xy} &= 1 \\
\sqrt{2y - yz} + \sqrt{2z - yz} &= \sqrt{2} \\
\sqrt{2z - zx} + \sqrt{2x - zx} &= \sqrt{3}.
\end{aligned}
$$
Khi đó $[(1-x)(1-y)(1-z)]^2$ có thể viết dưới dạng $\frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m+n$.
