IMO 1981 - Đề tuyển chọn

(BEL), IMO 4. (a) Với những giá trị nào của $n>2$ tồn tại một tập hợp gồm $n$ số nguyên dương liên tiếp sao cho số lớn nhất trong tập là ước của bội chung nhỏ nhất của $n-1$ số còn lại?

(b) Với những giá trị nào của $n>2$ chỉ có duy nhất một tập hợp có tính chất đã nêu?

(BUL) Một mặt cầu $S$ tiếp xúc với các cạnh $AB,BC,CD,DA$ của tứ diện $ABCD$ lần lượt tại các điểm $E,F,G,H$. Các điểm $E,F,G,H$ là các đỉnh của một hình vuông. Chứng minh rằng nếu mặt cầu tiếp xúc với cạnh $AC$ thì nó cũng tiếp xúc với cạnh $BD$.

(CAN) Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\max(a+b+c,b+c+d,c+d+e,d+e+f,e+f+g)$$
với các điều kiện

(i) $a,b,c,d,e,f,g\ge0$,

(ii) $a+b+c+d+e+f+g=1$.

(CAN) Cho $\{f_n\}$ là dãy Fibonacci $\{1,1,2,3,5,\ldots\}$.

(a) Tìm tất cả các cặp số thực $(a,b)$ sao cho với mỗi $n$, $af_n+bf_{n+1}$ là một số hạng của dãy.

(b) Tìm tất cả các cặp số thực dương $(u,v)$ sao cho với mỗi $n$, $uf_n^2+vf_{n+1}^2$ là một số hạng của dãy.

(COL) Một hình lập phương được ghép từ 27 hình lập phương trắng. Sau đó mặt ngoài của hình lập phương lớn được sơn đen rồi nó được tháo rời. Một người mù ghép lại hình lập phương. Xác suất để mặt ngoài của hình lập phương lúc này hoàn toàn đen là bao nhiêu? Hãy cho một giá trị gần đúng về độ lớn của đáp án.

(CUB) Cho $P(z)$ và $Q(z)$ là các đa thức biến phức có bậc không nhỏ hơn 1. Đặt
$$P_k=\{z\in\mathbb C\mid P(z)=k\},\qquad Q_k=\{z\in\mathbb C\mid Q(z)=k\}.$$
Giả sử thêm rằng $P_0=Q_0$ và $P_1=Q_1$. Chứng minh $P(z)\equiv Q(z)$.

(FIN), IMO 6. Giả sử $f(x,y)$ được xác định với mọi số nguyên dương $x$ và $y$, và thỏa mãn các phương trình sau:
$$f(0,y)=y+1,\qquad f(x+1,0)=f(x,1),\qquad f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)).$$
Tìm $f(2,2)$, $f(3,3)$ và $f(4,4)$.

Phiên bản khác: Tìm $f(4,1981)$.

(FRG), IMO 2. Gọi $f(n,r)$ là trung bình cộng của các phần tử nhỏ nhất của tất cả các tập con gồm $r$ phần tử của tập $\{1,2,\ldots,n\}$. Chứng minh $f(n,r)=\frac{n+1}{r+1}$.

(FRG) Dãy $(a_n)$ được xác định bởi hệ thức truy hồi
$$a_1=1,\qquad a_{n+1}=\frac{1+4a_n+\sqrt{1+24a_n}}{16}.$$
Tìm công thức tường minh cho $a_n$.

(FRA) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ có tính chất sau: Với mọi số nguyên $p$, $p\ge n$, có thể chia (phân hoạch) một hình vuông cho trước thành $p$ hình vuông (không nhất thiết bằng nhau).

(NET) Trên một nửa đường tròn bán kính đơn vị, cho bốn dây liên tiếp $AB,BC,CD,DE$ có độ dài lần lượt là $a,b,c,d$. Chứng minh
$$a^2+b^2+c^2+d^2+abc+bcd\lt 4.$$

(NET), IMO 3. Tìm giá trị lớn nhất của $m^2+n^2$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên thỏa mãn $m,n\in\{1,2,\ldots,100\}$ và $(n^2-mn-m^2)^2=1$.

(ROM) Cho $P$ là một đa thức bậc $n$ thỏa mãn
$$P(k)=\binom{n+1}{k}^{-1}\qquad(k=0,1,\ldots,n).$$
Tìm $P(n+1)$.

(ROM) Chứng minh rằng một ngũ giác lồi (đa giác có năm cạnh) $ABCDE$ có các cạnh bằng nhau và các góc trong thỏa mãn điều kiện $\angle A\ge\angle B\ge\angle C\ge\angle D\ge\angle E$ là một ngũ giác đều.

(GBR), IMO 1. Tìm điểm $P$ nằm trong tam giác $ABC$ để
$$\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$$
nhỏ nhất, trong đó $PD,PE,PF$ lần lượt là các đoạn vuông góc từ $P$ đến $BC,CA,AB$.

(GBR) Một dãy số thực $u_1,u_2,u_3,\ldots$ được xác định bởi $u_1$ và hệ thức truy hồi sau với $n\ge1$:
$$4u_{n+1}=\sqrt[3]{64u_n+15}.$$
Hãy mô tả và chứng minh tính chất của $u_n$ khi $n\to\infty$.

(USS), IMO 5. Ba đường tròn bằng nhau tiếp xúc với các cạnh của một tam giác và có một điểm chung $O$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và điểm $O$ thẳng hàng.

(USS) Cho một số hành tinh hình cầu bằng nhau trong không gian. Trên bề mặt mỗi hành tinh có một tập hợp các điểm không nhìn thấy được từ bất kỳ hành tinh nào còn lại. Chứng minh rằng tổng diện tích của tất cả các tập hợp này bằng diện tích bề mặt của một hành tinh.

(YUG) Cho một tập hữu hạn các hình tròn đơn vị trong mặt phẳng sao cho diện tích hợp $U$ của chúng bằng $S$. Chứng minh rằng tồn tại một tập con gồm các hình tròn đôi một rời nhau sao cho diện tích hợp của chúng lớn hơn $\frac{2S}{9}$.