MathNet 2024-part-05 — 168 bài (EN–VI)

Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ và $n$ sao cho $n = 3^m + s(n) + 35$, trong đó $s(n)$ là tổng các chữ số của $n$.

Giải phương trình
$$
((((((((n - \frac{1}{2}) \cdot 2 - \frac{2}{3}) \cdot 3 - \frac{3}{4}) \cdot 4 - \frac{4}{5}) \cdot \dots) \cdot 2023 - \frac{2023}{2024}) \cdot 2024 = 1.
$$

Con đường từ nhà Cô bé Quàng Khăn Đỏ (LRRH) đến nhà bà có những đoạn lên dốc, xuống dốc và đường bằng. Khi đi bộ, LRRH lên dốc chậm hơn hai lần và xuống dốc nhanh hơn hai lần so với trên đường bằng. Khi đi xe đạp, cô lên dốc chậm hơn ba lần và xuống dốc nhanh hơn ba lần so với trên đường bằng.

LRRH nhận thấy rằng khi đi bộ, quãng đường từ nhà bà trở về nhà mất ít hơn 18 phút so với quãng đường từ nhà đến nhà bà, còn khi đi xe đạp, quãng đường từ nhà bà trở về nhà mất ít hơn 20 phút so với quãng đường từ nhà đến nhà bà. Hỏi vận tốc của LRRH khi đi xe đạp lớn hơn vận tốc khi đi bộ bao nhiêu phần trăm?

Cho số nguyên $n \ge 3$. Một tập con $A$ gồm 3 phần tử của tập $M = \{1, 2, 3, \dots, n\}$ được gọi là thú vị nếu tồn tại một tập $B$ gồm các số nguyên dương sao cho:
(1) nếu $a \in A, b \in A, a \neq b$ thì $(a+b) \in B$;
(2) nếu $x, y, z \in B, x \lt y \lt z$ thì $2 \cdot y = x + z$.
Kí hiệu $A_n$ là số các tập thú vị.

a) Tính $A_7$.

b) Chứng minh rằng $A_{91} \gt 2024$.

Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $n + s(n)$ là số chính phương, trong đó $s(x)$ là tổng các chữ số thập phân của $x$.

Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của tam giác đều $ABC$ lần lượt lấy các điểm $D$, $E$, $F$, khác trung điểm các cạnh, sao cho $BD = CE = AF$. Gọi $M$ là trung điểm của $EF$ và $N$ là giao điểm của các đường thẳng $BC$ và $AM$. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng $ND$ và $BC$ có cùng trung điểm.

Gheorghe Iurea

Một hình thoi có cạnh bằng 1 và một góc trong bằng 60° được gọi là một viên kim cương. Giả sử một lục giác đều cạnh $n$ được chia thành các viên kim cương. Chứng minh rằng mỗi đường chéo chính của lục giác chia đôi đúng $n$ viên kim cương.

Tìm tất cả các đa thức khác hằng $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn
$$
P(x^3 - 7x) = P(x - 7)P(x - 8)P(x - 3)
$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn ($O$) và một điểm $I$ nằm bên trong $ABCD$. Xét các đường thẳng $d_1, d_2, d_3, d_4$ lần lượt đi qua trung điểm của các đoạn $IA, IB, IC, ID$ và vuông góc với các đường thẳng $OA, OB, OC, OD$. Đường thẳng $d_1$ cắt $d_2$ tại $P$, $d_2$ cắt $d_3$ tại $Q$, $d_3$ cắt $d_4$ tại $R$ và $d_4$ cắt $d_1$ tại $S$. Giả sử tứ giác $PQRS$ lồi và các điểm $I, O$ nằm bên trong nó. Chứng minh rằng $PQRS$ ngoại tiếp một đường tròn.

Với mỗi $n = 1, 2, 3, \ldots$, đặt $a_n = 3^{3^n-1} + 2$. Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $n$ để $p$ là ước của $a_n$.

Cho bảng chữ cái chỉ gồm hai chữ cái $A$ và $B$. Có thể chọn một từ độ dài 5, một từ độ dài 6, ..., một từ độ dài 30 sao cho mọi từ độ dài 300 đều chứa một trong các từ đã chọn như một xâu con (gồm các chữ cái liên tiếp) hay không?

Một người đưa thư phát thư cho 19 ngôi nhà ở phía đông phố Elm. Người đó nhận thấy rằng không bao giờ có hai nhà kề nhau cùng nhận thư trong một ngày, nhưng cũng không bao giờ có quá hai nhà liên tiếp cùng không nhận thư trong một ngày. Hỏi có bao nhiêu cách phát thư khác nhau có thể xảy ra?

Cho các số thực $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $x \ge y \ge z \ge 0$ và $2x + y + 2z = 5$. Chứng minh rằng
$$
5 \le x^2 + z^2 + xy + yz + zx \le \frac{25}{4}.
$$
Khi nào đẳng thức xảy ra?

Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $(O)$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $(\omega)$ là đường tròn đi qua $A$, $O$ và tiếp xúc với $OM$. Đường tròn $(\omega)$ cắt $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $EF$ và $K$ là giao điểm của $EF$ và $NP$. Chứng minh rằng $R = 2IK$ và tam giác $IMO$ cân.

Cho tam giác không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, với $X, Y, Z$ lần lượt là điểm chính giữa các cung lớn $BC, CA, AB$ của $(O)$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ với $BC, CA, AB$. Giả sử đường thẳng $XE$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $M$ và cắt $YD$ tại $P$; đường thẳng $XF$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $N$ và cắt $ZD$ tại $Q$. Gọi $T$ là giao điểm của $QE$ và $PF$, và $XT$ cắt $(O)$ lần thứ hai tại $K$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AOK$ chia đôi đoạn thẳng $MN$.

Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho với mọi $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta có
$$
k \cdot \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{(a + b + c)^2} + \sqrt{\frac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2}} \leq k + 1.
$$

Trên bảng viết các số $1, 2, 3, \dots, 2023^{2024}$. Ở mỗi bước, được phép xóa hai số bất kì $a, b$ trên bảng rồi thay chúng bằng $\gcd(2024ab, a^2 + 254ab + b^2)$; tiếp tục làm như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số $x$. Tìm tất cả các giá trị có thể có của $x$.

Tìm tất cả các số nguyên lẻ $n$ sao cho số các số nguyên $k$ thỏa mãn $0 \lt k \lt \frac{n}{4}$ và $\gcd(n, k) = 1$ là một số lẻ.

Cho số nguyên dương $n \gt 1$. Trên bảng viết $4n - 3$ số dương (không nhất thiết đôi một khác nhau). Biết rằng bốn số đôi một khác nhau bất kì trong danh sách đó đều lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng có một số được viết trên bảng ít nhất $n$ lần.

Tìm số dương $m$ nhỏ nhất sao cho tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thỏa mãn
$$
f(x + f(y)) = f(x) + \frac{mx^5 f(y)}{f(x)^2} + f(y^2), \forall x, y \gt 0.
$$