Ban đầu, máy tính hiển thị số $1$. Một thao tác bao gồm việc nhấn phím $\sin$ hoặc phím $\cos$, tính toán sin và cos tương ứng với các đối số tính bằng radian. Sau khi thực hiện các thao tác $2001$, giá trị lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu?
Trong một tứ giác lồi, *độ cao* so với một cạnh được xác định là đường thẳng vuông góc với cạnh này đi qua trung điểm của cạnh đối diện. Chứng minh rằng bốn đường cao có một điểm chung khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp, nghĩa là khi và chỉ khi tồn tại một đường tròn chứa bốn đỉnh của nó.
Một chiếc có một dãy kính dài và những viên đá $n$ ở kính trung tâm (kính $0$). Các chuyển động sau đây được cho phép:
• Bộ máy $A$
Nếu có ít nhất một viên đá trong kính $i$ và ít nhất một viên đá trong kính $i+1$, người ta có thể khiến một viên đá trong kính $i+1$ nhảy tới kính $i-1$, loại bỏ một viên đá trong kính $i$.
• Chuyển động *B*
Nếu có ít nhất hai viên đá trong kính *i* thì người ta có thể làm một viên đá trong kính *i* nhảy sang kính *i* + 2 và khiến một viên đá khác nhảy tới kính *i* - 1.
Chứng minh điều sau: thực hiện các chuyển động A và B trong một thời gian đủ dài, người ta sẽ luôn đạt được cấu hình mà từ đó không được phép chuyển động nữa. Ngoài ra, cấu hình cuối cùng này không phụ thuộc vào việc lựa chọn chuyển động trong quá trình thực hiện.
Đối với một số nguyên $a_0 \gt 1$ cho trước, người ta định nghĩa một dãy $(a_n)_{n \ge 0}$ như sau: với mỗi $k \ge 0$, hãy xác định $a_{k+1}$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_k$ sao cho $\text{gcd}(a_{k+1}, a_0 a_1 \cdots a_k) = 1$. Xác định tất cả các giá trị $a_0$ mà tất cả các số hạng $a_k$ đều là số nguyên tố hoặc lũy thừa của số nguyên tố.
Từ một dãy số nguyên $(a, b, c, d)$ mỗi dãy
$$(c, d, a, b),(b, a, d, c),(a+n c, b+n d, c, d),(a+n b, b, c+n d, d),$$
đối với số nguyên tùy ý $n$ có thể được lấy bằng một bước. Có thể lấy $(3,4,5,7)$ từ $(1,2,3,4)$ thông qua một chuỗi các bước như vậy không?
Cho $a$ là số nguyên lẻ. Chứng minh rằng $a^{2^{n}} + 2^{2^{n}}$ và $a^{2^{m}} + 2^{2^{m}}$ là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương $n$ và $m$ với $n \neq m$.
Trong tam giác $A B C$, phân giác của $\angle B A C$ cắt cạnh $B C$ tại điểm $D$. Biết $|B D| \cdot |C D| = |A D|^{2}$ và $\angle A D B = 45^{\circ}$ hãy xác định các góc của tam giác $A B C$.
Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi và $N$ là trung điểm của $BC$. Giả sử thêm rằng $\angle AND = 135^\circ$. Chứng minh rằng
$$
|AB| + |CD| + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot |BC| \geqslant |AD|
$$
Một bộ 8 vấn đề đã được chuẩn bị cho kỳ thi. Mỗi học sinh được phát 3 cái. Không có hai học sinh nào nhận được nhiều hơn một bài toán chung. Số học sinh lớn nhất có thể là bao nhiêu?
Cho $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ là một dãy số thực dương thỏa mãn $i \cdot a_{i}^{2} \geqslant (i+1) \cdot a_{i-1} a_{i+1}$ cho $i=1,2, \ldots$ Hơn nữa, cho $x$ và $y$ là các số thực dương và cho $b_{i}=x a_{i}+y a_{i-1}$ cho $i=1,2, \ldots$ Chứng minh rằng bất đẳng thức $i \cdot b_{i}^{2} \gt (i+1) \cdot b_{i-1} b_{i+1}$ đúng với mọi số nguyên $i \geqslant 2$.
Hàm có giá trị thực $f$ được xác định cho tất cả các số nguyên dương. Với mọi số nguyên $a \gt 1$, $b \gt 1$ với $d = \operatorname{gcd}(a, b)$, ta có
$$
f(ab) = f(d) \cdot \left(f\left(\frac{a}{d}\right) + f\left(\frac{b}{d}\right)\right),
$$
Xác định tất cả các giá trị có thể có của $f(2001)$.
Các điểm $A, B, C, D, E$ nằm trên đường tròn $c$ theo thứ tự này và thỏa mãn $AB \parallel EC$ và $AC \parallel ED$. Đường tiếp tuyến của đường tròn $c$ tại $E$ cắt đường thẳng $AB$ tại $P$. Các đường $BD$ và $EC$ gặp nhau tại $Q$. Chứng minh rằng $|AC| = |PQ|$.
Có thẻ $2n$. Trên mỗi thẻ có ghi một số thực $x$, $1 \leqslant x \leqslant 2$ (có thể có các số khác nhau trên các thẻ khác nhau). Chứng minh rằng các thẻ có thể được chia thành hai đống có tổng $s_1$ và $s_2$ sao cho
$$
\frac{n}{n+1} \leqslant \frac{s_1}{s_2} \leqslant 1.
$$
Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng có thể chọn ít nhất các số $2^{n-1} + n$ từ tập $\{1, 2, 3, \ldots, 2^n\}$ sao cho với hai số được chọn khác nhau bất kỳ $x$ và $y$, $x + y$ không phải là ước của $x \cdot y$.
Cho $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ là dãy số thực thỏa mãn $a_{0}=1$ và $a_{n}=a_{\lfloor 7 n / 9\rfloor}+a_{\lfloor n / 9\rfloor}$ cho $n=1,2, \ldots$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $k$ với $a_{k}\lt \frac{k}{2001 !}$.
(Ở đây $\lfloor x\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất không lớn hơn $x$.)
Cho $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là các số thực dương sao cho $\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{3}=3$ và $\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{5}=5$. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{n} a_{i}\gt \frac{3}{2}$.
Cho $n \geqslant 2$ là số nguyên dương. Tìm xem có tồn tại các tập con không trống $n$ theo cặp không giao nhau của $\{1,2,3, \ldots\}$ sao cho mỗi số nguyên dương có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng tổng của nhiều nhất các số nguyên $n$, tất cả đều từ các tập con khác nhau.
