Cho một tờ giấy hình vuông $9 \times 9$ được kẻ ô thành các ô vuông nhỏ $1 \times 1$. Người ta cắt tờ giấy với mục tiêu chia nó thành các ô vuông nhỏ $1 \times 1$.
Mỗi nhát cắt phải thẳng và đi theo một đường kẻ của lưới.
Sau mỗi nhát cắt, được phép sắp xếp lại các mảnh một cách thích hợp thành một chồng để nhát cắt tiếp theo chia đồng thời nhiều mảnh (trên mỗi mảnh, nhát cắt phải thẳng và đi theo một đường kẻ của lưới). Không được gấp giấy.
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu nhát cắt để đạt được mục tiêu?
(Với số tìm được, hãy chỉ ra các nhát cắt và giải thích vì sao không thể đạt mục tiêu với ít nhát cắt hơn.)
Trên bàn có $21$ tấm thẻ, mỗi tấm ghi một trong các số nguyên từ $1$ đến $21$ (kể cả hai số này), mỗi số đúng một lần.
Xavier chọn $4$ tấm thẻ và cho Ana xem. Sau đó Ana lấy đi của Xavier một tấm thẻ (tấm nào tùy cô chọn). Nếu tổng các số trên $3$ tấm thẻ Xavier còn giữ là bội của $3$ thì Ana thắng. Ngược lại, Xavier thắng.
Hãy xác định có bao nhiêu cách để Xavier chọn $4$ tấm thẻ sao cho chắc chắn thắng, bất kể Ana chơi giỏi đến đâu.
(Hai cách chọn cùng $4$ tấm thẻ nhưng theo thứ tự khác nhau được coi là một cách.)
Cho tam giác $ABC$ có $\hat{B} = 40°$. Biết rằng có một điểm $P$ trên đường phân giác của góc $\hat{B}$ thỏa mãn $BP = BC$ và $\hat{B}AP = 20°$. Hãy xác định số đo các góc $\hat{A}$ và $\hat{C}$.
Trong một cuộc thi, mỗi thí sinh vẽ một bảng ô vuông $99 \times 100$ và viết vào mỗi ô một số $1$ hoặc $-1$, tùy ý. Sau đó, mỗi thí sinh viết bên cạnh mỗi hàng kết quả của phép nhân $100$ số trong hàng đó, và bên dưới mỗi cột kết quả của phép nhân $99$ số trong cột đó. Cuối cùng, thí sinh cộng $99$ kết quả của các hàng với $100$ kết quả của các cột và được số cuối cùng của mình.
Nếu trong cuộc thi này mọi thí sinh đều được các số cuối cùng khác nhau, hãy xác định số thí sinh lớn nhất có thể có, và với số lớn nhất tìm được, hãy chỉ ra các số cuối cùng của tất cả các thí sinh.
Có một túi đựng 99 viên bi với các màu khác nhau (mỗi viên bi có đúng một màu và không biết có bao nhiêu màu). Nếu lấy ngẫu nhiên 21 viên bi từ túi thì luôn có từ bốn viên trở lên cùng một màu. Hỏi có nhất thiết túi chứa từ 18 viên bi trở lên cùng một màu hay không? Còn từ 17 viên bi trở lên cùng một màu thì sao?
Axel và Franco chơi trò chơi sau. Đầu tiên Axel nghĩ một số tự nhiên $N$. Từ đó, ở mỗi lượt, Franco chọn 4 số phân biệt $a, b, c, d$ từ tập $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ và nói cho Axel biết. Sau đó Axel công bố một trong các tổng $N+a, N+b, N+c, N+d$, tùy ý anh chọn. (Ví dụ, nếu Axel nghĩ số 2007 và ở một lượt Franco chọn 1, 3, 4, 6 thì Axel phải công bố một trong các số 2008, 2010, 2011, 2013, tùy ý.)
Mục tiêu của Franco là biết chắc chắn số $N$. Hãy xác định số lượt tối thiểu luôn cho phép Franco đạt được mục tiêu.
Trong mỗi ô của một bảng $1 \times 2007$ gồm các ô liên tiếp, phải viết một số nguyên từ $1$ đến $2007$, không lặp lại số nào. Sau đó xét $2007$ số sau: số ở ô thứ nhất tính từ trái; tổng các số ở hai ô đầu tiên (tính từ trái); tổng các số ở ba ô đầu tiên; ...; tổng các số ở $2006$ ô đầu tiên và tổng các số ở tất cả các ô. Với mỗi số trong $2007$ số này có số dư $5$ khi chia cho $6$ thì được $1$ peso. Hỏi số tiền lớn nhất có thể nhận được là bao nhiêu?
Ở một quốc gia có $100$ khu vực bầu cử, tất cả có cùng số cử tri. Mỗi khu vực bầu một đại biểu vào quốc hội trong số $3$ ứng cử viên đại diện cho $3$ đảng chính trị $A$, $B$ và $C$. Trên phạm vi toàn quốc, các đảng $A$, $B$ và $C$ được ủng hộ bởi đúng $60\%$, $30\%$ và $10\%$ cử tri, nhưng sự phân bố những người ủng hộ theo từng khu vực có thể tùy ý.
Cuộc bầu cử có hai vòng. Nếu ở một khu vực, trong vòng một có một trong ba ứng cử viên nhận được hơn một nửa số phiếu thì người đó thắng cử và không có vòng hai. Nếu không, hai ứng cử viên có nhiều phiếu nhất tranh vòng hai, ở đó người nhận được hơn một nửa số phiếu sẽ thắng.
Mỗi cử tri bỏ phiếu cho ứng cử viên của đảng mình yêu thích. Nếu ứng cử viên đó không có mặt ở vòng hai thì cử tri của $A$, $B$ và $C$ lần lượt bỏ phiếu cho ứng cử viên của $C$, $C$ và $B$.
Hỏi số khu vực ít nhất mà đảng $A$ thắng là bao nhiêu? Số khu vực nhiều nhất mà $C$ có thể thắng là bao nhiêu?
**LƯU Ý:** Giả sử không có khu vực nào mà một ứng cử viên nhận được đúng $50\%$ số phiếu, và cũng không có hai ứng cử viên nào có cùng số phiếu.
Cho tam giác $ABC$ có $\hat{A} = 45°$ sao cho đường phân giác của góc $\hat{A}$, đường trung tuyến kẻ từ $B$ và đường cao kẻ từ $C$ đồng quy. Tính số đo góc $\hat{B}$.
Cho một bảng hình chữ nhật $9 \times 2007$ được chia thành các ô vuông đơn vị $1 \times 1$. Ban đầu tất cả các ô đều màu trắng. Ở mỗi bước, người ta tô đen 4 ô trắng nằm ở giao của hai hàng và hai cột của bảng. Khi không còn 4 ô trắng nào nằm ở giao của hai hàng và hai cột của bảng thì quá trình dừng lại. Hỏi ít nhất sẽ còn lại bao nhiêu ô chưa được tô? Còn nếu bảng có kích thước $99 \times 2007$ thì sao?
Cho hình bình hành $ABCD$ với các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$, sao cho $AB \gt AD$ và $\frac{AC}{BD} = 3$. Gọi $r$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AD$ qua $AC$ và $s$ là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $BC$ qua $BD$. Nếu $r$ và $s$ cắt nhau tại $P$, hãy tính giá trị của $\frac{PA}{PB}$.
Cho 10 số thực $a_1, a_2, ..., a_{10}$, và lập 45 tổng của hai trong các số này $a_i + a_j$, $1 \le i \lt j \le 10$. Biết rằng không phải tất cả các tổng này đều là số nguyên. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $k$ sao cho có thể xảy ra trường hợp trong 45 tổng có $k$ tổng không phải số nguyên và $45 - k$ tổng là số nguyên.
Ta nói một số nguyên dương là *may mắn* nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho $31$. Hỏi hiệu lớn nhất có thể giữa hai số may mắn liên tiếp là bao nhiêu?
Julián chọn $2007$ điểm trên mặt phẳng sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng, và tô màu đỏ tất cả các đoạn thẳng nối hai trong các điểm đó. Sau đó, Roberto vẽ một số đường thẳng. Mục tiêu của anh là mọi đoạn thẳng đỏ đều bị ít nhất một trong các đường thẳng cắt tại một điểm trong của đoạn. Hãy xác định số $l$ nhỏ nhất sao cho, bất kể Julián chọn $2007$ điểm như thế nào, với $l$ đường thẳng được chọn thích hợp Roberto chắc chắn đạt được mục tiêu.
Hai người bạn $A$ và $B$ phải giải câu đố sau. Mỗi người nhận một số thuộc tập $\{1, 2, ..., 250\}$ nhưng không nhìn thấy số mà người kia nhận được. Mục tiêu là mỗi người tìm ra số của người kia. Quy trình họ phải tuân theo là lần lượt công bố các số nguyên dương, không nhất thiết phân biệt: đầu tiên $A$ nói một số, sau đó $B$ nói một số, tiếp theo lại đến $A$, v.v., sao cho tổng của tất cả các số được công bố bằng 20. Chứng minh rằng có một chiến lược mà nhờ thỏa thuận trước, $A$ và $B$ có thể đạt được mục tiêu, bất kể mỗi người nhận được số nào lúc bắt đầu câu đố.
Cho tam giác $ABC$ cân với đáy $AB$. Một nửa đường tròn $\Gamma$ có tâm nằm trên đoạn $AB$ tiếp xúc với hai cạnh bằng nhau $AC$ và $BC$. Xét một tiếp tuyến của $\Gamma$ cắt các đoạn $AC$ và $BC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Các đường thẳng vuông góc với $AC$ và $BC$ lần lượt kẻ qua $D$ và $E$ cắt nhau tại $P$. Gọi $Q$ là chân đường vuông góc hạ từ $P$ xuống đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng
$$
\frac{PQ}{CP} = \frac{1}{2} \frac{AB}{AC}
$$