Xác định xem có thể phân bố $60$ số $0$ và $61$ số $1$ vào các ô của một bảng $11 \times 11$, mỗi ô một số, sao cho tổng các số trên mỗi hàng là số lẻ, tổng các số trên mỗi cột là số lẻ và tổng các số trên mỗi đường chéo trong hai đường chéo là số lẻ hay không. Còn nếu bảng có kích thước $12 \times 12$ và cần phân bố $72$ số $0$ và $72$ số $1$ thì sao?
Juan có 11 quả cân, khối lượng đôi một khác nhau và đều là số nguyên. Tổng khối lượng của 11 quả cân là 1810. Dùng các quả cân này có thể tạo ra mọi khối lượng nguyên từ 1 đến 1810.
Xác định các giá trị có thể có của quả cân thứ sáu, khi đếm từ nhẹ nhất đến nặng nhất.
Cho tam giác $ABC$ và $P$ là một điểm trên đường phân giác của góc $\hat{A}$, nằm bên trong tam giác $ABC$. Biết rằng $PC = BC$ và $\hat{A}BP = 30^\circ$. Tìm số đo góc $\hat{APC}$.
Rocío phải viết trên một hàng 100 số nguyên phân biệt được chọn từ $1$ đến $199$ sao cho mỗi số, từ số thứ hai đến số kế cuối, lớn hơn ít nhất một trong hai số kề nó. Sau đó bạn tính tổng các số ở vị trí chẵn, kí hiệu là $P$, và tổng các số ở vị trí lẻ, kí hiệu là $I$. Xác định giá trị lớn nhất có thể của $P - I$ mà Rocío có thể đạt được.
Xác định xem có thể chia một hình vuông cạnh $11$ thành $5$ phần sau đây hay không: một hình vuông cạnh $1$ và bốn hình chữ nhật mà các kích thước của chúng là $8$ số nguyên phân biệt lớn hơn $1$. Còn nếu hình vuông cần chia có cạnh $10$ thì sao?
Germán viết các số vào các ô của một bảng $11 \times 11$ sao cho trên mỗi hàng tổng của $11$ số bằng $3$, trên mỗi cột tổng của $11$ số bằng $3$, và trong mỗi hình vuông $3 \times 3$ tổng của $9$ số bằng $1$.
Fede chọn $2008$ số nguyên dương sao cho tích của $2008$ số đó có tận cùng là $75$, và viết chúng lên bảng. Sau đó Iván, không nhìn thấy các số của Fede, chọn một số nguyên dương $k$ nhỏ hơn $2008$. Nếu trong danh sách của Fede có $k$ số mà tích của chúng có tận cùng là $75$ thì Iván thắng. Ngược lại, Fede thắng.
Xác định tất cả các giá trị của $k$ mà với chúng Iván chắc chắn thắng, bất kể Fede chơi giỏi đến đâu.
Trên bảng có viết một phép nhân của 26 số nguyên dương, tức là 26 số nguyên ngăn cách bởi các dấu $\times$. Lucía đổi hai trong các dấu $\times$ thành dấu $+$ và tính kết quả của biểu thức mới. Bạn lặp lại thủ tục này với mọi cách chọn hai dấu $\times$ trong biểu thức ban đầu. (Biểu thức mà Lucía tính luôn có hai dấu $+$ và 23 dấu $\times$.) Trong tất cả các số Lucía thu được, có đúng 115 số lẻ. Biết rằng trong biểu thức trên bảng, các số lẻ chỉ xuất hiện thành các khối 2 số và các khối 3 số (tức là không có số lẻ nào đứng riêng lẻ và không bao giờ có bốn số lẻ liên tiếp), hãy tính xem có thể có bao nhiêu số lẻ trong 26 số trên bảng.
Gọi $P$ là số nhận được khi nhân các giai thừa của 2008 số nguyên dương đầu tiên:
$$
P = (1!)(2!)(3!) \ldots (2007!)(2008!)
$$
Xác định xem có thể bỏ đi một trong các giai thừa này sao cho tích của 2007 giai thừa còn lại là một số chính phương hay không.
**GIẢI THÍCH:** Giai thừa của một số nguyên dương là tích của mọi số nguyên từ 1 đến số đó. Ví dụ, $5!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$; $12!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 12 = 479001600$. Một số nguyên được gọi là số chính phương nếu nó là bình phương của một số nguyên. Ví dụ, 16 và 10000 là các số chính phương vì $16 = 4^2$ và $10000 = 100^2$.
Beto chọn $101$ số nguyên dương và viết chúng trên một hàng. Chứng minh rằng có thể đặt các dấu ngoặc, dấu cộng và dấu nhân giữa các số trong danh sách của Beto sao cho biểu thức nhận được có nghĩa và khi thực hiện các phép toán đã chỉ ra thì thu được một số chia hết cho $16!$. Không được phép thay đổi thứ tự các số trong danh sách.
Trên mỗi ô của một bảng $60 \times 60$ có viết một số có giá trị tuyệt đối không vượt quá $1$. Tổng của tất cả các số trên bảng bằng $600$. Chứng minh rằng bảng chứa một hình vuông $12 \times 12$ mà tổng của $144$ số trong các ô của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng $24$.
Trên một đường tròn tâm $O$, cho $A$ và $B$ là các điểm trên đường tròn sao cho $AB = 120^\circ$ (tức là cung $AB$ có số đo $120^\circ$). Điểm $C$ nằm trên cung nhỏ $AB$ và điểm $D$ nằm trên dây cung $AB$. Biết rằng $AD = 2$, $BD = 1$ và $CD = \sqrt{2}$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
Xét một bảng $a \times b$, với $a$ và $b$ là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng $2$. Ban đầu các ô được tô trắng và đen như bàn cờ vua. Phép biến đổi được phép là chọn hai ô có chung một cạnh và tô lại chúng như sau: ô trắng thành đen; ô đen thành xanh lá; ô xanh lá thành trắng.
Xác định với những giá trị nào của $a$ và $b$ thì có thể, bằng một dãy các phép biến đổi được phép, làm cho mọi ô ban đầu màu trắng cuối cùng thành màu đen và mọi ô ban đầu màu đen cuối cùng thành màu trắng.
**GIẢI THÍCH:** Ban đầu không có ô xanh lá nào, nhưng chúng xuất hiện sau phép biến đổi đầu tiên.
Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ sao cho $B$ là trung điểm của đoạn $AC$, và cho $P$ là một điểm sao cho $\angle PBC = 60^\circ$. Dựng tam giác đều $PCQ$ sao cho $B$ và $Q$ nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau đối với $PC$, và tam giác đều $APR$ sao cho $B$ và $R$ nằm cùng một nửa mặt phẳng đối với $AP$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $BQ$ và $PC$; gọi $Y$ là giao điểm của các đường thẳng $BR$ và $AP$. Chứng minh rằng $XY$ và $AC$ song song.
Ana và Beto chơi trên một bảng có $11$ hàng và $9$ cột. Đầu tiên Ana chia bảng thành $33$ vùng. Mỗi vùng gồm $3$ ô liền nhau xếp thẳng hàng theo chiều dọc hoặc chiều ngang, như trong hình.
Sau đó Beto viết vào mỗi ô một trong các số $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, sao cho tổng các số trong mỗi vùng bằng $5$. Beto thắng nếu tổng các số được viết trên mỗi cột trong $9$ cột của bảng là một số nguyên tố. Ngược lại, Ana thắng. Chứng minh rằng Beto có chiến lược thắng.
Cho một dãy $S$ gồm $1001$ số thực dương, không nhất thiết phân biệt, và cho một tập $A$ gồm các số nguyên dương phân biệt; phép biến đổi được phép là: với một $k \in A$ nào đó, chọn $k$ số của $S$, tính trung bình cộng của $k$ số đó và thay mỗi số trong $k$ số đã chọn bằng giá trị trung bình đó.
Nếu $A$ là một tập sao cho với mọi $S$ đều có thể, bằng một dãy các phép biến đổi được phép, làm cho tất cả các số bằng nhau, hãy xác định giá trị nhỏ nhất có thể của phần tử lớn nhất của $A$.
Pablo có một số hình chữ nhật có tổng diện tích bằng $3$ và mọi cạnh đều nhỏ hơn hoặc bằng $1$. Chứng minh rằng với các hình chữ nhật này có thể phủ kín một hình vuông cạnh $1$ sao cho các cạnh của các hình chữ nhật song song với các cạnh của hình vuông.
**Chú ý:** Các hình chữ nhật có thể chồng lên nhau và có thể nhô ra ngoài hình vuông.
