Trên mỗi mặt của một hình lập phương, ta vẽ một trong hai đường chéo của mặt đó. Một số đường chéo này có chung đỉnh. Gọi $N$ là số cặp đường chéo có chung một đỉnh (mỗi đường chéo có thể xuất hiện trong nhiều cặp khác nhau). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có thể của $N$.
Cho tứ giác $ABCD$ và điểm $K$ nằm bên trong tam giác $ABD$ sao cho các tam giác $ABD$ và $KCD$ đồng dạng. Chứng minh rằng các tam giác $BCD$ và $AKD$ cũng đồng dạng.
Tam giác đều $ABC$ có cạnh dài $4$ cm. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của trung điểm $D$ của cạnh $AB$ lên các cạnh $BC$ và $AC$. Tính diện tích tam giác $DEF$.
Tại kỳ thi Olympic Toán quốc gia, các thí sinh làm 4 bài. Mỗi bài giải được chấm một số điểm nguyên từ 0 đến 7. Có 42 thí sinh dự thi và đúng một nửa trong số họ đạt ít nhất 50\% tổng số điểm. Để đoạt giải cần đạt ít nhất 22 điểm, và một phần sáu số thí sinh đạt mức này. Tổng điểm của các thí sinh không đoạt giải gấp ba lần tổng điểm của các thí sinh đoạt giải. Chứng minh rằng có ít nhất 6 thí sinh mà mỗi người trong số họ đạt ít nhất 25\% tổng số điểm nhưng không ai đạt quá 50\%.
Chứng minh rằng với mọi số thực $x \in \left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ta có đẳng thức
$$
\frac{2}{1 - \sin x} = \tan^2 \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) + 1.
$$
Cho tứ giác lồi $ABCD$ sao cho tam giác $BCD$ nhọn và $|AB| = |AD|$. Gọi $K$ là giao điểm của đường phân giác của góc $\angle CAD$ với cạnh $CD$, và $L$ là giao điểm của đường phân giác của góc $\angle BAC$ với cạnh $BC$. Gọi $K'$ và $L'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $K$ và $L$ lên các cạnh $BC$ và $CD$. Chứng minh rằng bốn điểm $B$, $D$, $L'$, $K'$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số nguyên dương. Giả sử với một số nguyên dương $k$ nào đó, $k \lt n$, điều sau đây đúng: nếu chọn $k$ số bất kỳ trong $n$ số đã cho thì tổng của chúng chia hết cho $n$. Chứng minh rằng $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ cũng chia hết cho $n$.
Cho $D$ là một điểm trên cạnh $AB$ của tam giác nhọn $ABC$ sao cho tam giác $BCD$ cũng nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Chứng minh: nếu bốn điểm $A$, $D$, $H$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn thì tam giác $ABC$ cân.
Maja có thể viết các số nguyên dương lên bảng theo hai quy tắc. Với mỗi số $n$ đã có trên bảng, bạn ấy có thể viết thêm số $3n+13$. Bất cứ khi nào một số trên bảng là số chính phương, bạn ấy cũng có thể viết căn bậc hai của nó.
a. Chỉ dùng hai quy tắc này, nếu bắt đầu từ $256$ thì Maja có thể nhận được số $55$ không?
b. Chỉ dùng hai quy tắc này, nếu bắt đầu từ $55$ thì Maja có thể nhận được số $256$ không?
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $H$ là trực tâm của nó và $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt là chân các đường cao kẻ từ $A$, $B$, $C$. Gọi $P$ là trung điểm của $AH$, $Q$ là giao điểm của các đường thẳng $B'P$ và $AB$, và gọi $R$ là giao điểm của các đoạn $A'C'$ và $BB'$. Chứng minh rằng đường thẳng $QR$ vuông góc với cạnh $BC$.
Trên mỗi ô của một bàn cờ $n \times n$ ta viết một trong hai số $1$ hoặc $-1$. Gọi $a_k$ là tích của tất cả các số ở hàng thứ $k$ và $b_l$ là tích của tất cả các số ở cột thứ $l$. Với $n = 2007$, có thể chọn các số sao cho tổng
$$
a_1 + a_2 + \dots + a_n + b_1 + b_2 + \dots + b_n
$$
bằng không hay không? Còn với $n = 2008$ thì sao?
Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương khác tính chẵn lẻ. Chứng minh rằng
$$
(m + 3n)(5m + 7n)(7m + 5n)(3m + n)
$$
không bao giờ là một số chính phương.