MathNet 2009-part-04 — 175 bài (EN–VI)

Cho $n \ge 4$ là số nguyên dương. Ta ghi vào mỗi ô của một bảng $n \times n$ một số nguyên sao cho tổng các số nguyên trong mọi hình vuông $3 \times 3$ đều âm. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho có thể làm như vậy để tổng của tất cả các số trong bảng là số dương.

Đáy $AB$ của hình thang $ABCD$ dài hơn đáy $CD$, và $\angle ADC$ là góc vuông. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Gọi $E$ là chân đường cao hạ từ $D$ xuống đường thẳng $BC$. Chứng minh rằng $\frac{|AE|}{|BE|} = \frac{|AC| \cdot |CD|}{|AC|^2 - |CD|^2}$.

Cho $k$ là số nguyên dương lớn hơn $1$. Chứng minh rằng: với mọi số nguyên không âm $m$ tồn tại $k$ số nguyên dương $n_1, n_2, \dots, n_k$ sao cho $$ n_1^2 + n_2^2 + \dots + n_k^2 = 5^{m+k}. $$

Tìm tất cả các hàm số $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho tồn tại hàm số tăng nghiêm ngặt $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$ f(x + y) = f(x)g(y) + f(y) $$ với mọi số thực $x$ và $y$.

Cho $n$ là số nguyên dương, $n \ge 3$. Trên bảng có viết $n$ số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng ta có thể chọn hai trong các số đó sao cho không có số nào trên bảng, khi nhân với $3$, lại bằng một bội của tổng hai số đã chọn.

Đường tròn nội tiếp của tam giác nhọn $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ lần lượt tại $A_1$, $B_1$ và $C_1$. Gọi $K_A$, $K_B$ và $K_C$ lần lượt là các đường tròn nội tiếp của các tam giác $AB_1C_1$, $A_1BC_1$ và $A_1B_1C$.
Gọi $t_A$ là tiếp tuyến chung của $K_B$ và $K_C$ cắt các đoạn $AB$ và $AC$ nhưng không cắt đoạn $BC$. Gọi $t_B$ là tiếp tuyến chung của $K_A$ và $K_C$ cắt các đoạn $AB$ và $BC$ nhưng không cắt đoạn $AC$, và gọi $t_C$ là tiếp tuyến chung của $K_A$ và $K_B$ cắt các đoạn $AC$ và $BC$ nhưng không cắt đoạn $AB$.
Chứng minh rằng ba đường thẳng $t_A$, $t_B$ và $t_C$ đồng quy.

Có 64 thí sinh tham dự một giải cờ vua. Mỗi cặp thi đấu một ván và ván đó kết thúc với một người thắng hoặc hòa. Nếu một ván hòa thì mỗi một trong 62 thí sinh còn lại đều thắng ít nhất một trong hai thí sinh đó. Trong giải có ít nhất hai ván hòa. Chứng minh rằng ta có thể xếp tất cả các thí sinh thành một hàng sao cho mỗi người đều đã thắng người đứng ngay sau mình.

Tìm tất cả các số thực $x, y$ và $z$ là nghiệm của hệ phương trình $$
\begin{aligned}
x + y + 2z &= 0 \\
x y - z^{2} &= 0 \\
y^{2} + 5z + 6 &= 0
\end{aligned}
$$

Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất chia hết cho $20$ sao cho $n^{2}$ là lập phương của một số nguyên và $n^{3}$ là bình phương của một số nguyên.

Cho $E$ và $F$ là các điểm trên các cạnh $AB$ và $AD$ của tứ giác lồi $ABCD$ sao cho $EF \parallel BD$. Đoạn $CE$ cắt đường chéo $BD$ tại điểm $G$, còn đoạn $CF$ cắt đường chéo $BD$ tại điểm $H$. Chứng minh rằng: nếu $AGCH$ là hình bình hành thì $ABCD$ cũng là hình bình hành.

Tìm tất cả các số tự nhiên chẵn $n$ thỏa mãn $-53 \lt \frac{2009}{53-n} \lt 53-n$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^{2}+7^{3}$ là lập phương của một số nguyên.

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $|AB| \gt |BC| \gt |AC|$. Gọi $D$ là điểm khác $C$ trên đoạn $BC$ sao cho $|AC| = |AD|$. Kí hiệu $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, còn $A_1$ và $B_1$ là chân các đường cao hạ từ $A$ và $B$. Các đường thẳng $A_1B_1$ và $DH$ cắt nhau tại điểm $E$. Chứng minh rằng bốn điểm $B$, $D$, $B_1$ và $E$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho $p$ là số nguyên tố và $a$, $b$, $c$ là các số nguyên chia hết cho $p$ sao cho đa thức $$ q(x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c $$ có ít nhất hai nghiệm nguyên khác nhau. Chứng minh rằng $p^{2}$ chia hết $b$ và $p^{3}$ chia hết $c$.

Chứng minh bất đẳng thức $$ \frac{9}{4} \lt \log_{2} \pi+\log_{4} \pi \lt \frac{5}{2} $$

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $|AB| \gt |BC| \gt |AC|$. Gọi $D$ là điểm khác $C$ trên đoạn $BC$ sao cho $|AC| = |AD|$. Kí hiệu $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$, còn $A_{1}$ và $B_{1}$ là chân các đường cao hạ từ $A$ và $B$. Đường thẳng $DH$ cắt đường thẳng $AC$ tại điểm $E$ và cắt đường thẳng $A_{1}B_{1}$ tại điểm $F$. Gọi $G$ là giao điểm của các đường thẳng $AF$ và $BH$. Chứng minh rằng hai tam giác $HBD$ và $HGE$ đồng dạng.

Một bảng kích thước $5 \times 7$ có một ô màu đỏ, các ô còn lại màu trắng. Ta đặt lên bảng các tấm lát có dạng (tấm lát có thể được lật hoặc xoay) sao cho chúng nằm hoàn toàn trong bảng. Các tấm lát được phép chồng lên nhau trên ô đỏ, nhưng không được chồng lên nhau trên các ô trắng. Xác định tất cả các vị trí có thể của ô đỏ sao cho có thể phủ kín toàn bộ bảng.

Chứng minh đẳng thức $$ 1005^{\ln 121}=11^{\ln (1+3+5+\ldots+2009)} $$

Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại số nguyên tố $p$ để $p^{2}+7^{n}$ là số chính phương.

Một bảng $8 \times 8$ được chia thành $64$ ô vuông nhỏ. Xác định số màu ít nhất cần dùng để tô các ô vuông của bảng sao cho bốn ô bất kỳ tạo thành một hình có dạng (hình có thể được lật hoặc xoay) đều được tô bằng các màu khác nhau.