Giả sử ban đầu có tám người dân và một tên côn đồ. Một trong tám người dân tên là Jester. Nếu Jester bị đưa vào tù vào một buổi sáng nào đó thì trò chơi lập tức kết thúc và chỉ mình anh ta thắng. (Tuy nhiên, Jester không thắng nếu bị đưa vào tù vào ban đêm.)
Tìm xác suất chỉ Jester thắng.
Luật chung chính thức: Bắt đầu buổi sáng; $t,g$ đếm dân/côn đồ. Sáng: chọn đều một người còn lại vào tù; dừng nếu $g=0$ hoặc $t=0$. Nếu chưa dừng, tối: chọn đều một dân vào tù; dừng nếu $g\ge t$.
Phần luật gốc, trang 1: https://hmmt-archive.s3.amazonaws.com/tournaments/2014/nov/thm/problems.pdf
Với mọi số nguyên dương $a,b$, định nghĩa $a\oplus b$ là kết quả cộng $a$ với $b$ trong hệ nhị phân (cơ số $2$) nhưng bỏ qua mọi lần nhớ. Ví dụ, $20\oplus14=10100_2\oplus1110_2=11010_2=26$. (Phép toán $\oplus$ được gọi là phép hoặc loại trừ.) Tính tổng
$$\sum_{k=0}^{2^{2014}-1}\left(k\oplus\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor\right).$$
Ở đây $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.
Trong hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $1$, chọn điểm $M$ trên $\overline{AB}$ và các điểm $X,Y$ trên $\overline{CD}$ sao cho $AX\lt AY$. Giả sử $AM=BM$. Biết diện tích tam giác $MXY$ bằng $\frac1{2014}$, tính diện tích hình thang $AXYB$.
Có $n$ cô gái $G_1,\ldots,G_n$ và $n$ chàng trai $B_1,\ldots,B_n$. Cặp $(G_i,B_j)$ được gọi là phù hợp khi và chỉ khi cô gái $G_i$ sẵn lòng kết hôn với chàng trai $B_j$. Biết rằng có đúng một cách ghép mỗi cô gái với một chàng trai khác nhau mà cô ấy sẵn lòng kết hôn, số cặp phù hợp lớn nhất có thể là bao nhiêu?
Với các số nguyên $m,n\ge1$, gọi $A(n,m)$ là số dãy số nguyên $(a_1,\cdots,a_{nm})$ thỏa mãn hai tính chất:
(a) Mỗi số nguyên $k$ với $1\le k\le n$ xuất hiện đúng $m$ lần trong dãy $(a_1,\cdots,a_{nm})$.
(b) Nếu $i,j,k$ là các số nguyên thỏa mãn $1\le i\le nm$ và $1\le j\le k\le n$ thì số lần xuất hiện của $j$ trong dãy $(a_1,\cdots,a_i)$ ít nhất bằng số lần xuất hiện của $k$.
Ví dụ, khi $n=2,m=5$, một dãy có thể có là $(a_1,\cdots,a_{10})=(1,1,2,1,2,2,1,2,1,2)$. Ngược lại, dãy $(a_1,\cdots,a_{10})=(1,2,1,2,2,1,1,1,2,2)$ không thỏa mãn tính chất (2) khi $i=5,j=1,k=2$.
Victoria muốn đặt ít nhất $550$ bánh donut từ Dunkin' Donuts cho kỳ thi HMMT tháng 11 năm 2014. Tuy nhiên, số bánh mua phải là bội của mười hai. Giả sử mỗi mười hai bánh giá $7.49$ đô la, số tiền ít nhất Victoria phải trả, tính bằng đô la, là bao nhiêu? (Vì HMMT trực thuộc MIT nên giao dịch được miễn thuế. Hơn nữa, do đơn hàng lớn nên không có phí giao hàng.)
Sammy có một tấm gỗ hình chữ nhật dài $2^{2014}$ và cao $3^{2014}$. Tấm gỗ được chia thành lưới các ô vuông đơn vị. Một con mối bắt đầu từ cạnh trái hoặc cạnh dưới, đi dọc các đường lưới chỉ sang phải hoặc lên trên, cho đến khi chạm cạnh đối diện với cạnh xuất phát. Hình dưới minh họa hai đường đi có thể có.
Đường đi của con mối chia tấm gỗ thành hai mảnh. Sammy ngạc nhiên khi vẫn có thể xếp hai mảnh thành một hình chữ nhật mới không bằng hình chữ nhật ban đầu. Hình chữ nhật mới có chu vi $P$. Có bao nhiêu giá trị có thể có của $P$?
Một dãy hữu hạn các số nguyên $a_1,a_2,\dots,a_n$ được gọi là *chính quy* nếu tồn tại số thực $x$ thỏa mãn
$$\lfloor kx\rfloor=a_k\quad(1\le k\le n).$$
Cho dãy chính quy $a_1,a_2,\dots,a_n$. Với $1\le k\le n$, ta nói số hạng $a_k$ là *bị ép buộc* nếu dãy
$$a_1,a_2,\dots,a_{k-1},b$$
là chính quy khi và chỉ khi $b=a_k$. Tìm số số hạng bị ép buộc lớn nhất có thể trong một dãy chính quy có $1000$ số hạng.
Xét đa giác đều $n$ cạnh với $n\gt 3$. Gọi một đường thẳng là chấp nhận được nếu nó đi qua miền trong của đa giác. Vẽ $m$ đường thẳng chấp nhận được khác nhau, chia đa giác thành nhiều đa giác nhỏ.
a. Chứng minh tồn tại một số $m$ chỉ phụ thuộc vào $n$ sao cho mọi tập hợp $m$ đường thẳng chấp nhận được đều tạo ra một đa giác nhỏ có $3$ hoặc $4$ cạnh.
b. Tìm số $m$ nhỏ nhất bảo đảm có ít nhất một đa giác nhỏ có $3$ hoặc $4$ cạnh.
Tìm số dãy tăng nghiêm ngặt gồm các số nguyên không âm thỏa mãn:
- Số hạng đầu là $0$ và số hạng cuối là $12$. Đặc biệt, dãy có ít nhất hai số hạng.
- Trong hai số hạng liên tiếp bất kỳ, có đúng một số chẵn.
Giả sử $(a_1,\ldots,a_{20})$ và $(b_1,\ldots,b_{20})$ là hai dãy số nguyên sao cho dãy $(a_1,\ldots,a_{20},b_1,\ldots,b_{20})$ chứa mỗi số $1,\ldots,40$ đúng một lần. Giá trị lớn nhất có thể của tổng sau là bao nhiêu?
$$\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}\min(a_i,b_j).$$
Có bao nhiêu cách tô tám đỉnh của một hình lập phương trong không gian bằng màu đỏ và xanh sao cho không có hai đỉnh nối bởi một cạnh cùng màu đỏ? Các cách tô thu được bằng phép quay hoặc phép đối xứng từ một cách tô đã cho vẫn được xem là khác nhau.
Cho hình thang $ABCD$ với $AB\parallel CD$ và $\angle D=90^\circ$. Giả sử có điểm $E$ trên $CD$ sao cho $AE=BE$ và hai tam giác $AED,CEB$ đồng dạng nhưng không bằng nhau. Biết $\frac{CD}{AB}=2014$, tìm $\frac{BC}{AD}$.
Cho tam giác $ABC$ có $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$. Gọi $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $O$ là tâm đường tròn ấy, và $M$ là trung điểm cung nhỏ $\widehat{BC}$. Đường tròn $\omega_1$ tiếp xúc trong với $\Gamma$ tại $A$; đường tròn $\omega_2$ có tâm $M$ tiếp xúc ngoài với $\omega_1$ tại $T$. Tia $AT$ cắt đoạn $BC$ tại $S$ sao cho $BS-CS=4/15$. Tìm bán kính của $\omega_2$.
