Câu hỏi 8
Với các số nguyên $m,n\ge1$, gọi $A(n,m)$ là số dãy số nguyên $(a_1,\cdots,a_{nm})$ thỏa mãn hai tính chất:
(a) Mỗi số nguyên $k$ với $1\le k\le n$ xuất hiện đúng $m$ lần trong dãy $(a_1,\cdots,a_{nm})$.
(b) Nếu $i,j,k$ là các số nguyên thỏa mãn $1\le i\le nm$ và $1\le j\le k\le n$ thì số lần xuất hiện của $j$ trong dãy $(a_1,\cdots,a_i)$ ít nhất bằng số lần xuất hiện của $k$.
Ví dụ, khi $n=2,m=5$, một dãy có thể có là $(a_1,\cdots,a_{10})=(1,1,2,1,2,2,1,2,1,2)$. Ngược lại, dãy $(a_1,\cdots,a_{10})=(1,2,1,2,2,1,1,1,2,2)$ không thỏa mãn tính chất (2) khi $i=5,j=1,k=2$.
Chứng minh $A(n,m)=A(m,n)$.
(a) Mỗi số nguyên $k$ với $1\le k\le n$ xuất hiện đúng $m$ lần trong dãy $(a_1,\cdots,a_{nm})$.
(b) Nếu $i,j,k$ là các số nguyên thỏa mãn $1\le i\le nm$ và $1\le j\le k\le n$ thì số lần xuất hiện của $j$ trong dãy $(a_1,\cdots,a_i)$ ít nhất bằng số lần xuất hiện của $k$.
Ví dụ, khi $n=2,m=5$, một dãy có thể có là $(a_1,\cdots,a_{10})=(1,1,2,1,2,2,1,2,1,2)$. Ngược lại, dãy $(a_1,\cdots,a_{10})=(1,2,1,2,2,1,1,1,2,2)$ không thỏa mãn tính chất (2) khi $i=5,j=1,k=2$.
Chứng minh $A(n,m)=A(m,n)$.