MathNet 2013

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho
$$\frac{5^{n+1}+2^{n+1}}{5^n+2^n}\gt 4.99.$$

Tìm tất cả các số thực $x$ giữa $0$ và $360$ sao cho
$$\sqrt3\cos10^\circ=\cos40^\circ+\sin x^\circ.$$

Hình thang cân $ABCD$ có hai đáy $AB,CD$ với $AB=13,CD=17$ và chiều cao 3. Gọi $E$ là giao điểm của $AC,BD$. Các đường tròn $\Omega,\omega$ ngoại tiếp các tam giác $ABE,CDE$. Tính tổng bán kính của $\Omega,\omega$.

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo):

Cho tam giác $ABC$ với $\angle A=2\angle B$. Các đường phân giác từ $A,C$ cắt nhau tại $D$, và đường phân giác từ $C$ cắt $\overline{AB}$ tại $E$. Nếu $DE/DC=1/3$, tính $AB/AC$.

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo):

Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC=120^\circ$ và các đường phân giác lần lượt là $(AA_1),(BB_1),(CC_1)$. Có $B_1F\perp A_1C_1$, với $F\in(A_1C_1)$. Gọi $R,I,S$ lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp tam giác $C_1B_1F$, $C_1B_1A_1$, $A_1B_1F$, và $B_1S\cap A_1C_1=\{Q\}$. Chứng minh $R,I,S,Q$ cùng nằm trên một đường tròn.

Các bức tường của một căn phòng tạo thành tam giác $ABC$ với $\angle ABC=90^\circ$, $\angle BAC=60^\circ$, $AB=6$. Chong đứng tại trung điểm $BC$ và lăn một quả bóng về phía $AB$. Giả sử bóng nảy khỏi $AB$, rồi khỏi $AC$, rồi quay về đúng chỗ Chong. Tìm độ dài đường đi của bóng.

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo):

Chứng minh trong mọi tập gồm ba số nguyên phân biệt, có hai số a,b sao cho $a^5b^3-a^3b^5$ chia hết cho10.

Một số tự nhiên $n$ có tính chất sau: với mọi danh sách số thực $a_1,a_2,\ldots,a_d$ thỏa $a_1+\cdots+a_d=2013$ và $0\le a_i\le1$ với $i=1,\ldots,d$, tồn tại cách chia tập các số thực này thành $n$ tập con đôi một rời nhau (một số tập có thể rỗng), sao cho tổng các số trong mỗi tập con không quá $1$. Tìm số $n$ nhỏ nhất có tính chất đó.

Tìm số bộ ba số nguyên có thứ tự $(a,b,c)$ với $1\le a,b,c\le100$ và $a^2b+b^2c+c^2a=ab^2+bc^2+ca^2$.

Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$, và $T$ là trung điểm của cung $BC$ trên $\omega$ không chứa $A$. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMT$ và $ANT$ cắt các đường trung trực của $AC$ và $AB$ lần lượt tại $X,Y$; giả sử $X,Y$ nằm trong tam giác $ABC$. Hai đường $MN$ và $XY$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $KA=KT$.

Tìm số tập con $S$ của $\{1,2,\ldots,6\}$ thỏa mãn:
- $S$ khác rỗng.
- Không có tập con nào của $S$ có tổng các phần tử bằng $10$.

Ngân hàng trung ương Sikinien đúc tiền mệnh giá $11$ và $12$ Kulotnik. Trong một vụ trộm, $11$ tên trộm Sikinien phá két và lấy được tiền tổng trị giá $5940$ Kulotnik. Họ cố chia đều chiến lợi phẩm, để mỗi người nhận cùng số tiền, nhưng không thành công; sau một lúc, tên cầm đầu nói đã suy nghĩ và kết luận rằng thực sự không thể chia đều. Chứng minh họ không lấy được đồng tiền mệnh giá $12$ Kulotnik nào.

Cho cấp số nhân phức vô hạn $z_0+z_1+z_2+\cdots$ với $z_0=1$ và $z_{2013}=1/2013^{2013}$. Tìm tổng tất cả các giá trị có thể của tổng cấp số nhân này.

Chọn x và y ngẫu nhiên, đều trên $(0,1)$. Xác suất $\left\lfloor\sqrt{x/y}\right\rfloor$ là số chẵn bằng bao nhiêu? Gợi ý: $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2=\pi^2/6$.

Giả sử đường tròn bàng tiếp tam giác $ABC$ đối diện đỉnh $A$ tiếp xúc cạnh $BC$ tại $A_1$. Tương tự, xác định $B_1$ trên $CA$ và $C_1$ trên $AB$ bằng các đường tròn bàng tiếp đối diện $B,C$. Giả sử tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ thuộc đường tròn đi qua $A,B,C$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Xét dãy số thực $(a_n)$, $n=1,2,3,\ldots$, với
$$a_1=2,\qquad a_n=\frac{n+1}{n-1}(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}),\quad n\ge2.$$
Tìm $a_{2013}$.

Hình thang $ABCD$ nội tiếp parabol $y=x^2$ với $A=(a,a^2)$, $B=(b,b^2)$, $C=(-b,b^2)$, $D=(-a,a^2)$, trong đó $a,b$ là các số thực dương, $a\gt b$. Nếu $AD+BC=AB+CD$ và $AB=3/4$, tìm $a$.

Cho $r$ là số nguyên dương và $a_0,a_1,\ldots$ là một dãy vô hạn các số thực. Giả sử với mọi số nguyên không âm $m,s$, tồn tại số nguyên dương $n\in[m+1,m+r]$ sao cho
$$a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s}.$$
Chứng minh dãy tuần hoàn, nghĩa là tồn tại $p\ge1$ sao cho $a_{n+p}=a_n$ với mọi $n\ge0$.

Chứng minh rằng trong mọi tập gồm $2000$ số thực phân biệt, tồn tại hai cặp $a\gt b$ và $c\gt d$ với $a\ne c$ hoặc $b\ne d$, sao cho
$$\left|\frac{a-b}{c-d}-1\right|\lt \frac1{100000}.$$

Các đường thẳng $y=x,y=2x,y=3x$ là ba đường trung tuyến của một tam giác có chu vi 1. Tìm độ dài cạnh lớn nhất của tam giác.

Hình minh họa bổ sung (do AI tạo):