MathNet 2013

Gọi $l(n)$ là ước lẻ lớn nhất của số tự nhiên $n$. Tính tổng
$$l(1)+l(2)+l(3)+\cdots+l(2^{2013}).$$
(Michal Rolínek)

Cho số nguyên dương $n$. Với mỗi số nguyên dương $j$ và số thực dương $r$, định nghĩa
$$f_j(r)=\min(jr,n)+\min(j/r,n),$$
$$g_j(r)=\min(\lceil jr\rceil,n)+\min(\lfloor j/r\rfloor,n),$$
trong đó $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$. Chứng minh
$$\sum_{j=1}^nf_j(r)\le n^2+n\le\sum_{j=1}^ng_j(r)$$
với mọi số thực dương $r$.

Trong Hình 1.1, $AB$ là dây của đường tròn $\omega$, $P$ nằm trên cung $AB$, và $E,F$ nằm trên $AB$ sao cho $AE=EF=FB$. Nối $PE,PF$ rồi kéo dài cắt lại $\omega$ tại $C,D$. Chứng minh
$$EF\cdot CD=AC\cdot BD.$$


Hình 1.1

Tìm tất cả các cặp số nguyên $a,b$ sao cho
$$\frac{a^2+1}{2b^2-3}=\frac{a-1}{2b-1}.$$

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với $BC=CD$. Gọi $\omega$ là đường tròn tâm $C$ tiếp xúc với $BD$ và $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABD$. Chứng minh đường thẳng qua $I$ song song với $AB$ tiếp xúc với $\omega$.

Cho số nguyên dương $n$. Với mỗi số nguyên dương $j$ và số thực dương $r$, định nghĩa
$$f_j(r)=\min(jr,n)+\min(j/r,n),$$
$$g_j(r)=\min(\lceil jr\rceil,n)+\min(\lceil j/r\rceil,n),$$
trong đó $\lceil x\rceil$ là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn $x$. Chứng minh
$$\sum_{j=1}^nf_j(r)\le n^2+n\le\sum_{j=1}^ng_j(r)$$
với mọi số thực dương $r$.

Tìm mọi cặp số thực dương $(a,b)$ sao cho $f(x)=ax^2+b$ thỏa mãn $f(xy)+f(x+y)\ge f(x)f(y)$ với mọi số thực $x,y$.

Có $n$ Robin Hood ($n\ge3$), mỗi người cướp được một số đồng tiền, tổng cộng $100n$ đồng. Họ chia chiến lợi phẩm như sau: mỗi bước một người lấy hai đồng của mình cho hai người khác, mỗi người một đồng. Tìm tất cả số nguyên dương $n\ge3$ để họ có thể chia đều chiến lợi phẩm, mỗi người $100$ đồng. (Ján Mazák)

Ann và Bob chơi trò sau. Hai người lần lượt (Ann đi trước) thay một dấu sao trong biểu thức $\overline{*****}$ bằng một chữ số từ 0 đến 9 (mỗi chữ số chỉ được dùng đúng một lần). Ann thắng nếu số có 5 chữ số thu được chia hết cho 11; nếu không Bob thắng. Ai thắng khi cả hai đều chơi để thắng?

Một kỳ thi có $m$ câu hỏi và $n$ học sinh, với các số tự nhiên $m,n\ge2$. Với mỗi câu, nếu đúng $x$ học sinh trả lời sai thì các em đó nhận $0$ điểm, còn mỗi học sinh trả lời đúng nhận $x$ điểm. Tổng điểm của một học sinh là tổng điểm của $m$ câu. Xếp các tổng điểm thành $p_1\ge p_2\ge\cdots\ge p_n$. Tìm giá trị lớn nhất của $p_1+p_n$.

Có N đoạn thẳng nằm trong đường tròn đơn vị $\Gamma$. Tổng độ dài các đoạn bằng $2\sqrt N$. Chứng minh tồn tại một đường tròn đồng tâm với $\Gamma$ cắt ít nhất hai đoạn thẳng đó.

Hai đường tròn $K_1,K_2$ có bán kính khác nhau cắt nhau tại $A,B$. Các điểm $C,D$ lần lượt thuộc $K_1,K_2$ sao cho $A$ là trung điểm $CD$. Kéo dài $DB$ gặp $K_1$ tại điểm thứ hai $E$; kéo dài $CB$ gặp $K_2$ tại điểm thứ hai $F$. Gọi $l_1,l_2$ lần lượt là các đường trung trực của $CD,EF$.

(1) Chứng minh $l_1,l_2$ có đúng một điểm chung, gọi là $P$.

(2) Chứng minh $CA,AP,PE$ là độ dài ba cạnh một tam giác vuông.

Chọn ngẫu nhiên năm số khác nhau từ $1,2,\ldots,20$. Xác suất để trong chúng có ít nhất hai số nguyên liên tiếp là ______.

Gọi $N^*$ là tập các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hàm $f:N^*\to N^*$ thỏa $f(1)=f(2)=1$ và
$$f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1)),\qquad n=3,4,\ldots.$$
Với hàm $f$ đó, tìm $f(2^m)$ khi $m\ge2$ là số nguyên.

Cho các số nguyên $a,b$ với $b$ không là số chính phương. Chứng minh rằng $x^2+ax+b$ chỉ có thể là số chính phương với hữu hạn số nguyên $x$.

Cho $S$ là tập con gồm $m\ge3$ phần tử của $\{0,1,2,\ldots,98\}$, thỏa mãn: với mọi $x,y\in S$, có $z\in S$ sao cho $x+y\equiv2z\pmod{99}$. Tìm mọi giá trị có thể của $m$.

Chứng minh rằng nếu $\alpha,\beta,\gamma\in[0,\pi/2]$ và $\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma\le3$ thì
$$\cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma\ge0.$$

Mọi điểm có tọa độ nguyên trong mặt phẳng được tô bằng ba màu. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $S$ có tính chất: với mọi cách tô như vậy, tồn tại một tam giác diện tích $S$ có ba đỉnh cùng màu.

Tìm số thực nhỏ nhất $x$ sao cho bất đẳng thức $x+c\le(x+a)(x+b)$ đúng với mọi tam giác có các cạnh $a\le b\le c$.

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Điểm $P$ thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn $\angle BOP=\angle ABC$; điểm $Q$ thuộc cạnh $AC$ thỏa mãn $\angle COQ=\angle ACB$. Chứng minh ảnh đối xứng của đường thẳng $BC$ qua $PQ$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$.