MathNet 2013

Gọi $B_n$ là số cách phân hoạch một tập $n$ phần tử thành các phần không rỗng. Chẳng hạn $B_3=5$ vì tập $\{a,b,c\}$ có các phân hoạch
$$\{a,b,c\};\quad\{a\},\{b,c\};\quad\{a,c\},\{b\};\quad\{a,b\},\{c\};\quad\{a\},\{b\},\{c\}.$$
Chứng minh với mọi số nguyên dương $m$ và số nguyên tố $p$,
$$B_{p^m}\equiv m+1\pmod p.$$

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $$f(x+y)+y\le f(f(f(x)))$$ với mọi $x,y\in\mathbb R$.

Cho các số thực phân biệt $0\le a,b,c\le1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\frac1{|a-b|^3}+\frac1{|b-c|^3}+\frac1{|c-a|^3}.$$

Một tứ diện có cả bốn mặt là tam giác vuông. Biết ba cạnh của nó có cùng độ dài $s$. Tính thể tích tứ diện.

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $p\gt q$ sao cho
$$\frac{p+1}{p}\cdot\frac{q+1}{q}=\frac{2013}{2011}.$$

Tam giác ABC nội tiếp parabol y=x². Gọi a,b,c là hoành độ trung điểm ba cạnh. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Cho tam giác vuông $ABC$ có $AC=BC$ và $\angle C=90^\circ$. Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AC,BC$ và $MN=BC$. Với mỗi cặp điểm như vậy, dựng một đường tròn đi qua $M,N$ và tiếp xúc với cạnh huyền $AB$. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ấy.

Chứng minh có ít nhất2013 giá trị khác nhau của $m$ sao cho bảng ô vuông $m\times m$ có thể cắt theo các đường lưới thành những mảnh $D_1,D_2,\ldots,D_n$, trong đó $D_i$ gồm đúng $i$ ô.

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $BC\lt\frac{AC+AB}{2}$. Chứng minh $\angle BAC\lt\frac{\angle CBA+\angle ACB}{2}$.

Cho các số thực dương $x_1,\ldots,x_n$ (n≥3) với $x_1\cdots x_n=1$. Chứng minh
$$\frac{x_1^8}{(x_1^4+x_2^4)x_2}+\frac{x_2^8}{(x_2^4+x_3^4)x_3}+\cdots+\frac{x_n^8}{(x_n^4+x_1^4)x_1}\ge\frac n2.$$
(I. Voronovich)

Với những số nguyên dương $k$ nào có thể xếp các số nguyên $1,2,3,\ldots,(2k)^2$ thành bảng $2k\times2k$ sao cho tổng mọi hàng và mọi cột đều có cùng tính chẵn lẻ, trái với tính chẵn lẻ của $k$?

Trên các cạnh $AB,AD$ của tứ giác lồi $ABCD$ lần lượt lấy các điểm $X,Y$. Tìm $AX:BX$ nếu $CX\parallel DA$, $DX\parallel CB$, $BY\parallel CD$, $CY\parallel BA$.

Cho hai đa thức hệ số nguyên $f,g$ với $\deg f\gt \deg g$ và $\deg f\ge2$. Nếu đa thức $pf+g$ có nghiệm hữu tỉ với vô hạn số nguyên tố $p$, chứng minh $f$ có nghiệm hữu tỉ.

Tìm tất cả bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ (không nhất thiết dương) thỏa mãn
$$a^b b^c c^a=p,$$
trong đó $p$ là số nguyên tố.

Điểm $D$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường tròn $S_1$ nội tiếp tam giác $ABD$ tiếp xúc với đường tròn $S_2$ nội tiếp tam giác $CBD$. Chứng minh giao điểm của hai tiếp tuyến chung ngoài của $S_1,S_2$ nằm trên đường thẳng $AC$.

$$3\cdot5^x-2\cdot6^y=3$$
trong các số nguyên dương $x,y$.

Có một số bóng đèn xếp thành hàng. Ban đầu, một số đèn sáng, các đèn còn lại tắt. Ta được thay đổi trạng thái bằng các thao tác:
(1) Đổi trạng thái đèn ngoài cùng bên phải;
(2) Đổi trạng thái hai đèn liên tiếp đang cùng sáng hoặc cùng tắt.
Có phải luôn có thể dùng các thao tác (1), (2) để tắt tất cả đèn không?

Trên bảng có một số lẻ dấu sao $\underbrace{**\dots*}_{2n+1}$. Ann và Bob chơi luân phiên, Ann đi trước. Mỗi lượt thay một dấu sao bằng chữ số từ0 đến9; dấu sao ngoài cùng bên trái không được thay bằng0. Ann thắng nếu số cuối cùng chia hết cho11, ngược lại Bob thắng. Ai thắng nếu cả hai đều chơi tối ưu?

Tập đỉnh của đồ thị $G$ gồm 2014 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng. Đoạn $AB$ là một cạnh khi và chỉ khi mỗi nửa mặt phẳng mở có bờ là đường thẳng $AB$ chứa 1006 điểm. Chứng minh $G$ không có đường đi Hamilton, tức đường đi qua mỗi đỉnh đúng một lần.

Với số nguyên dương $n$, chọn $n$ số từ bảng
$$\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&n-1\\n&n+1&\cdots&2n-1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\(n-1)n&(n-1)n+1&\cdots&n^2-1\end{array}$$
sao cho không có hai số cùng hàng hoặc cùng cột. Tích lớn nhất của $n$ số đã chọn bằng bao nhiêu?