MathNet 2013

Một số đồng xu được chia thành 200 nhóm, rồi lại chia thành 300 nhóm. Gọi một đồng xu là đặc biệt nếu nhóm chứa nó trong lần chia thứ hai nhỏ hơn nhóm chứa nó trong lần chia thứ nhất. Tìm số đồng xu đặc biệt nhỏ nhất.

Cho số nguyên dương $N$, trừ đi ước thực sự lớn nhất của nó (khác $N$), rồi làm tương tự với số mới và lặp lại đến khi được $1$. Có bao nhiêu phép trừ nếu bắt đầu với $N=19^{19}$?

Tập $G$ gồm các điểm $(x,y)$ có tọa độ nguyên, với $1\le x\le5$ và $1\le y\le5$. Tìm số dãy năm điểm $(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5)$ sao cho $P_i=(x_i,i)\in G$ với $1\le i\le5$ và
$$|x_1-x_2|=|x_2-x_3|=|x_3-x_4|=|x_4-x_5|=1.$$

Tìm diện tích tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tọa độ $(x,y)$ thỏa mãn
$$x^2+y^2\le4|x|+4|y|.$$

Hãy lát kín một bảng ô vuông $13\times13$ bằng các hình vuông $2\times2$ và các hình chữ L gồm ba ô đơn vị sao cho số hình chữ L ít nhất.

Cho hàm số $f:\mathbb Z_{\ge0}\to\mathbb Z_{\ge0}$ thỏa mãn với mọi số nguyên $n\ge0$:
(a) $f(2n+1)^2-f(2n)^2=6f(n)+1$,
(b) $f(2n)\ge f(n)$;
trong đó $\mathbb Z_{\ge0}$ là tập các số nguyên không âm. Giải phương trình $f(n)=1000$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các đa thức không hằng hệ số nguyên $f_1(x),\ldots,f_n(x)$ (không nhất thiết phân biệt) và $g(x)$ thỏa mãn
$$1+\prod_{k=1}^n(f_k^2(x)-1)=(x^2+2013)^2g^2(x).$$

Cho bát diện đều $ABCDEF$ có đỉnh dưới $E$, đỉnh trên $F$, mặt phẳng thiết diện giữa $ABCD$, tâm $M$ và mặt cầu ngoại tiếp $k$. Lấy điểm $X$ bất kì ở bên trong mặt $ABF$. Đường thẳng $EX$ cắt $k$ tại $E,Z$ và cắt mặt phẳng $ABCD$ tại $Y$.
$$\text{Chứng minh rằng }\langle EMZ\rangle=\langle EYF\rangle.$$

Gọi $S$ là tập các số hữu tỉ có dạng
$$\frac{(a_1^2+a_1-1)(a_2^2+a_2-1)\cdots(a_n^2+a_n-1)}{(b_1^2+b_1-1)(b_2^2+b_2-1)\cdots(b_n^2+b_n-1)},$$
trong đó $n,a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ chạy qua các số nguyên dương. Chứng minh rằng $S$ chứa vô hạn số nguyên tố.

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$, và $M$ là trung điểm cạnh huyền $AB$. Chọn điểm $D$ trên đường thẳng $BC$ sao cho góc $CDM$ bằng $30$ độ. Chứng minh rằng các đoạn $AC$ và $MD$ có độ dài bằng nhau.

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, và $M$ là trung điểm $BC$. Giả sử $A,M,O$ thẳng hàng. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông hoặc cân (hoặc vừa vuông vừa cân).

Cho các số nguyên không âm $a_1,a_2,\dots,a_n$ sao cho với mọi số thực $x_1\gt x_2\gt x_3\gt\dots\gt x_n\gt0$ thỏa mãn $x_1+x_2+\dots+x_n\lt1$, ta có $\sum_{k=1}^n a_kx_k^3\lt1$.
Chứng minh rằng
$$na_1+(n-1)a_2+\dots+(n-j+1)a_j+\dots+a_n\le\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
G. Baron, Vienna

Cho $x\ge5$, $y\ge6$, $z\ge7$ và $x^2+y^2+z^2\ge125$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $x+y+z$.

Trên bảng viết
$$\left(\begin{array}{lllll}1&1&1&\cdots&1\end{array}\right),$$
với $2013$ số $1$ ở giữa cặp ngoặc ngoài. Giữa mỗi cặp số $1$ liên tiếp, được viết dấu “+” hoặc “)(” (không được để trống). Giá trị lớn nhất của biểu thức thu được là bao nhiêu?

Tìm tất cả các hàm đơn ánh $f$ từ tập số nguyên dương vào chính nó thỏa mãn điều kiện sau: nếu $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên dương sao cho $\sum_{s\in S}1/s$ là số nguyên, thì $\sum_{s\in S}1/f(s)$ cũng là số nguyên.

Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$,
$$a^6+b^6+c^6-3a^2b^2c^2\ge\frac12(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2.$$

Tìm tất cả các hợp số nguyên dương $n$ sao cho mọi ước của $n$ đều viết được dưới dạng $a^r+1$, trong đó $a,r$ là các số nguyên với $a\ge0$ và $r\ge2$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho đa thức $f_n(x,y,z)=x^{2n}+y^{2n}+z^{2n}-xy-yz-zx$ là ước của đa thức $g_n(x,y,z)=(x-y)^{5n}+(y-z)^{5n}+(z-x)^{5n}$ trong vành đa thức ba biến $x,y,z$ với hệ số nguyên.

Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_{2013}$ thỏa mãn:
- $a_1=a_{2013}=0$;
- $|a_i-a_{i+1}|\lt1$ với $1\le i\le2012$;
- $\sum_{i=1}^{2013}a_i=0$.

Tìm giá trị lớn nhất có thể của tổng $\sum_{i=1}^m a_i$, trong đó cả $m$ ($1\le m\le2013$) và dãy $\{a_i\}$ đều được phép thay đổi.

a. Trên mỗi cạnh của một hình lập phương có ghi một số. Hình lập phương được gọi là ma thuật nếu:
(i) Tổng bốn số trên các cạnh của mỗi mặt đều bằng nhau.
(ii) Tổng ba số trên các cạnh gặp nhau tại mỗi đỉnh đều bằng nhau. (Tổng theo mặt và tổng theo đỉnh có thể khác nhau.)
Hãy xác định có tồn tại hình lập phương ma thuật sử dụng
(a) các số từ $1$ đến $12$, mỗi số đúng một lần;
(b) các số từ $1$ đến $13$, mỗi số không quá một lần hay không.