MathNet 2017-part-04 — 176 bài (EN–VI)

Trong hình thang vuông $ABCD$ có các góc vuông tại các đỉnh $A$ và $B$ có hai đường tròn. Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh bên và đáy lớn $AD$, đường tròn còn lại tiếp xúc với hai cạnh bên, đáy nhỏ $BC$ và tiếp xúc với đường tròn thứ nhất.

1) Đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn cắt $AD$ tại điểm $P$. Chứng minh rằng $\frac{AP}{PD} = \sin (\angle D)$.

2) Tính diện tích hình thang, biết bán kính của hai đường tròn là $\frac{4}{3}$ và $\frac{1}{3}$.

Chứng minh rằng $8 \cdot \cos^{2} x \cdot (1-\operatorname{ctg} x) \lt 1$, $\forall x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Tính
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=0}^{n} C_{2 n}^{2 k} 61^{k}\right) /\left(\sum_{k=0}^{n-1} C_{2 n}^{2 k+1} 61^{k}\right).
$$

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực $a$ để hệ
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}+5x+y^{2}-y-|x-5y+5|=51 \\
a x - y - 5a + 2 = 0
\end{array}
\right.
$$
có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

Một học sinh phải nhân một số có 3 chữ số với một số có 4 chữ số (các số không bắt đầu bằng chữ số 0). Thay vì làm như vậy, bạn ấy chỉ viết số có 4 chữ số vào bên phải số có 3 chữ số, thu được một số có 7 chữ số, lớn gấp $N$ lần ($N \in \mathbb{N}$) kết quả đúng.

a) $N$ có thể bằng 2 hoặc 10 không?

b) Tìm giá trị lớn nhất có thể của $N$.

Cho các số nguyên dương $a_1 \lt a_2 \lt \dots \lt a_{53}$ sao cho tổng của 27 số bất kì lớn hơn tổng của 26 số còn lại.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $a_1$.

b) Tìm tất cả các giá trị có thể của $a_2, \dots, a_{53}$ khi $a_1$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho $D$ và $E$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác $ABC$ sao cho $BD = CE$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $DE$. Chứng minh rằng $MN$ song song với đường phân giác của $\angle BAC$.

Cho $a_1 \lt a_2 \lt \dots$ là các ước dương của số nguyên dương $a$ và $b_1 \lt b_2 \lt \dots$ là các ước dương của số nguyên dương $b$. Tìm tất cả $a, b$ sao cho
$$
\begin{cases} a_{10} + b_{10} = a \\ a_{11} + b_{11} = b \end{cases}
$$

Cho $a$ và $b$ là các số thực thỏa mãn $a + b = 1$. Chứng minh bất đẳng thức sau.
$$
\sqrt{1 + 5a^2} + 5\sqrt{2 + b^2} \ge 9
$$

Cho hình thang cân $ABCD$ với $AD = BC$ và $AB \parallel CD$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo và $M$ là trung điểm của $AD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt $AD$ lần thứ hai tại $K$. Chứng minh rằng $OK$ song song với $AB$.

(Đề xuất bởi B. Bat-Od)

Một hình vuông $10 \times 10$ được chia thành các ô vuông $1 \times 1$. Một *đèn điểm* đặt tại một đỉnh của ô vuông $1 \times 1$ sẽ chiếu sáng tất cả các ô vuông $1 \times 1$ chứa đỉnh đó. (Đèn điểm có thể đặt tại một đỉnh nằm trên cạnh của hình vuông lớn.) Tìm số đèn điểm ít nhất cần dùng để mọi ô vuông đều được chiếu sáng ngay cả khi có một đèn điểm bị hỏng.
(Đề xuất bởi B. Battsengel)

$n$ bạn gái đứng thành một vòng tròn, mỗi bạn cầm đúng 1 thẻ. Một bạn đưa thẻ của mình cho bạn bên trái, bạn này lại đưa 2 thẻ cho bạn bên trái mình. Bạn vừa nhận thẻ đưa 1 thẻ cho bạn bên trái mình. Bạn vừa nhận thẻ đưa 2 thẻ cho bạn bên trái mình. Cứ tiếp tục như vậy, mỗi bạn lần lượt luân phiên đưa 1 hoặc 2 thẻ cho bạn bên trái. Ai không còn thẻ thì rời cuộc chơi ngay lập tức. Tìm tất cả các giá trị của $n$ sao cho toàn bộ số thẻ được dồn về một bạn.

Hai đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Một đường thẳng qua $B$ cắt $\omega_1$ tại điểm $C$ và cắt $\omega_2$ tại điểm $D$. Đường thẳng $AD$ cắt $\omega_1$ tại điểm $E$ khác $A$ và đường thẳng $AC$ cắt $\omega_2$ tại điểm $F$ khác $A$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $OB \perp CD$.

(Đề xuất bởi B. Bat-Od)

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn $5$. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên $m, n$ sao cho $m + n \lt p$ và $2^m \cdot 3^n - 1$ chia hết cho $p$.

Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $AD$, $BE$ là các đường cao. Đường thẳng $DE$ cắt đường tròn $\omega$ tại các điểm $P$ và $Q$, theo thứ tự $P$, $E$, $D$, $Q$ trên đường thẳng. Các đường phân giác của góc $APQ$ và góc $BQP$ lần lượt cắt đường tròn $\omega$ tại các điểm $K$ và $L$. Chứng minh rằng đường thẳng $KL$ vuông góc với đường phân giác của góc $ACB$.
(Đề xuất bởi B. Ulziinasan)

Với số nguyên dương $n$, kí hiệu $\sigma(n)$ là tổng tất cả các ước của $n$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $n$ là ước của $2^{\sigma(n)}-1$.

Cho tứ giác nội tiếp $ABCD$ với đường tròn ngoại tiếp $\omega$, và $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Một đường thẳng đi qua $E$ cắt các đường thẳng $AB$, $BC$ lần lượt tại $P, Q$. Gọi $R$ ($R \neq D$) là giao điểm của $\omega$ với đường tròn đi qua $D, E$ và tiếp xúc với đường thẳng $PQ$ tại $E$. Chứng minh rằng $B, P, Q, R$ đồng viên.
(Đề xuất bởi B. Khoroldagva)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
(a-b)f(a+b) + (b-c)f(b+c) + (c-a)f(c+a) = 0
$$
với mọi $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác không cân $ABC$. Các tiếp tuyến của $\omega$ tại $A$ và $C$ cắt nhau tại $P$, và đường thẳng $BP$ cắt $\omega$ tại $D$. Gọi $BB'$ là một đường kính của $\omega$. Đường phân giác ngoài của $\angle ABC$ cắt các đường thẳng $B'A$ và $B'C$ lần lượt tại $A'$ và $C'$. Chứng minh rằng $A', B', C', D$ đồng viên.

Có tồn tại hay không các số nguyên dương $a_1, a_2, \dots, a_{2017}$ sao cho tích
$$
(a_1^{2017} + a_2)(a_2^{2017} + a_3) \dots (a_{2016}^{2017} + a_{2017})(a_{2017}^{2017} + a_1)
$$
là lũy thừa của một số nguyên tố với số mũ
a) $2017 \cdot 2018,$
b) $2017 \cdot 2023.$