Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm $H$. Đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $N$. Đường thẳng $AH$ cắt $(O)$ tại $A$ và $K$. Ba đường thẳng $KN$, $BC$ và đường thẳng đi qua $H$ vuông góc với $AN$ cắt nhau tạo thành tam giác $XYZ$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ tiếp xúc với $(O)$.
Một đa giác lồi được chia thành một số tam giác. Gọi $V$ và $E$ lần lượt là tập các đỉnh và tập các cạnh của tất cả các tam giác (mỗi đỉnh thuộc $V$ có thể là một đỉnh của đa giác hoặc một điểm nằm bên trong đa giác). Đa giác được gọi là tốt nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i. Không có 3 đỉnh nào thuộc $V$ thẳng hàng;
ii. Mỗi đỉnh thuộc $V$ thuộc một số chẵn cạnh trong $E$.
Trên mặt phẳng cho $2017$ điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Một số cặp điểm được nối với nhau bởi $n$ đoạn thẳng. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ sao cho trong mọi trường hợp luôn tồn tại hai đoạn thẳng rời nhau.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có các đường cao $BH_b$, $CH_c$ cắt nhau tại trực tâm $H$ ($H_b \in AC$, $H_c \in AB$). $H_b H_c$ cắt $BC$ tại $P$. Gọi $N$ là trung điểm của $AH$, $L$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường đối trung ứng với góc $A$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\angle NLP = 90^\circ$.
Với mỗi cặp số nguyên dương $x$, $y$, một số nguyên không âm $x \Delta y$ được xác định. Biết rằng với mọi số nguyên dương $a$ và $b$, các đẳng thức sau đúng:
i. $(a+b) \Delta b = a \Delta b + 1$.
ii. $(a \Delta b) \cdot (b \Delta a) = 0$.
Tìm giá trị của các biểu thức $2016 \Delta 121$ và $2016 \Delta 144$.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ sao cho hai điểm $B$, $C$ cố định, còn $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $(O)$. Hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$, $C$ cắt nhau tại $P$. Đường tròn đường kính $OP$ cắt $AC$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$. Chứng minh rằng $DE$ tiếp xúc với một đường tròn cố định có bán kính bằng một nửa bán kính của $(O)$.
Cho $S = \{-17, -16, \ldots, 16, 17\}$. Ta gọi tập con $T$ của $S$ là tập tốt nếu $-x \in T$ với mọi $x \in T$ và nếu $x, y, z \in T$ ($x, y, z$ có thể bằng nhau) thì $x + y + z \neq 0$. Tìm số phần tử lớn nhất của một tập tốt.
Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 6$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{a^2 b + 16} + \frac{1}{b^2 c + 16} + \frac{1}{c^2 a + 16} \geq \frac{1}{8}
$$
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, có trực tâm $H$. Gọi $d$ là một đường thẳng tùy ý đi qua $H$ và cắt $(O)$ tại hai điểm $P$ và $Q$. Vẽ đường kính $AA'$ của đường tròn $(O)$. $A'P$, $A'Q$ lần lượt cắt $BC$ tại $K$, $L$. Chứng minh rằng $O$, $K$, $L$, $A'$ cùng nằm trên một đường tròn.
Một bàn cờ có $64$ ô được tô đen và trắng theo cách thông thường. Một đường đi của quân tượng là một dãy các ô phân biệt sao cho hai ô liên tiếp có đúng một điểm chung. Tập hợp tất cả các ô trắng có thể được chia thành ít nhất bao nhiêu đường đi của quân tượng?
Cho $a$ là số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên dương $n$, số $n^{2} a-1$ có ít nhất một ước lớn hơn 1 chia cho $n$ dư 1. Chứng minh rằng $a$ là số chính phương.
Xác định số quân hậu lớn nhất có thể đặt lên bàn cờ $2017 \times 2017$ sao cho mỗi quân hậu tấn công nhiều nhất một trong các quân hậu còn lại.
(Bojan Bašić và ban đề thi)
Cho $k$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle A B C$, và $k_{a}$ là đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh $A$. Hai tiếp tuyến chung của các đường tròn $k$ và $k_{a}$ cắt đường thẳng $B C$ tại các điểm $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $\varangle P A B=\varangle Q A C$.
Cho $a, b$ và $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
$$
a \sqrt{2 b+1}+b \sqrt{2 c+1}+c \sqrt{2 a+1} \leqslant \sqrt{2-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}
$$
Có $2n-1$ bóng đèn xếp thành một hàng. Ban đầu bóng ở giữa (bóng thứ $n$) sáng, còn tất cả các bóng khác tắt. Mỗi bước, được phép chọn hai bóng đèn đang tắt, không kề nhau, sao cho mọi bóng nằm giữa chúng đều sáng, rồi đổi trạng thái của hai bóng này và của tất cả các bóng nằm giữa chúng (ví dụ, từ cấu hình $\bullet\circ\circ\circ\bullet$ ta nhận được $\circ\bullet\bullet\bullet\circ$, trong đó $\circ$ ký hiệu bóng sáng và $\bullet$ ký hiệu bóng tắt). Có thể thực hiện nhiều nhất bao nhiêu bước?
(Dušan Đukić)
Cho $Q$ là một hình vuông kích thước $12 \times 12$ trên một lưới ô vuông vô hạn. Một học sinh muốn tô một số ô (không nhất thiết tất cả!) bằng bảy màu (mỗi ô một màu) sao cho không có hai hình chữ nhật ba ô (trong số 288 hình) có tâm nằm trong $Q$ nào được tô giống nhau. Điều này có thể thực hiện được không?
(Hai hình chữ nhật ba ô được gọi là tô giống nhau nếu có thể tịnh tiến và/hoặc quay sao cho mỗi ô của hình chữ nhật này trùng với ô cùng màu của hình chữ nhật kia.)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\omega$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại điểm $O$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là các điểm trên các đoạn $AO$ và $DO$. Đường thẳng $EF$ cắt $\omega$ tại các điểm $E_1$ và $F_1$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ADE$ và $BCF$ cắt đường thẳng $EF$ lần lượt tại các điểm $E_2$, $F_2$. Chứng minh rằng $E_1E_2 = F_1F_2$.
Chứng minh rằng trong 42 số bất kỳ thuộc đoạn $[1, 10^6]$ luôn có thể chọn ra bốn số sao cho với mọi hoán vị $(a, b, c, d)$ của bốn số này, bất đẳng thức sau đúng:
$$
25(ab + cd)(ad + bc) \geq 16(ac + bd)^2.
$$