MathNet 2018-part-07 — 177 bài (EN–VI)

Cho $G$ là một đơn đồ thị có $k$ thành phần liên thông, lần lượt có $a_{1}, \ldots, a_{k}$ đỉnh. Hãy xác định số cách thêm $k-1$ cạnh vào $G$ để được một đồ thị liên thông, theo các số $a_{i}$.

Cho $a_{0} = a_{1} = 1$ và $a_{n+1} = 7 a_{n} - a_{n-1} - 2$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $a_{n}$ là số chính phương với mọi $n$.

Khi số
$$
N = 1^{1} \times 2^{2} \times 3^{3} \times \cdots \times 9^{9}
$$
được viết dưới dạng thập phân, nó tận cùng bằng bao nhiêu chữ số $0$?

Một hình vuông và một tam giác đều có tính chất: diện tích của mỗi hình bằng chu vi của hình kia. Diện tích của hình vuông là bao nhiêu?

Tìm tất cả các cách gán cho mỗi đỉnh của một đa giác $100$ cạnh một số nguyên sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: trong ba số liên tiếp bất kỳ được viết, có một số bằng tổng của hai số còn lại.

Hãy cho một ví dụ về hàm số tăng ngặt $f: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ có tính chất
$$
f(x+y) \leq f(x)+f(y)
$$
với mọi số thực $x$ và $y$.

Louis di chuyển trên các điểm nguyên theo các quy tắc sau: từ điểm $(x, y)$ anh ấy có thể đi đến một trong các điểm $(y, x)$, $(3x, -4y)$, $(-2x, 5y)$, $(x+1, y+6)$ và $(x-7, y)$. Chứng minh rằng nếu xuất phát từ $(0,1)$ thì anh ấy không bao giờ đến được $(0,0)$.

Dãy số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots$ thỏa mãn $a_{1}=1$ và
$$
a_{n+1}=2^{a_{n}}+a_{n}
$$
với $n \geq 1$. Chứng minh rằng $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{243}$ cho các số dư đôi một khác nhau khi chia cho $243$.

Cho tam giác $ABC$ có tâm đường tròn nội tiếp $I$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$, với $BC \lt AB \lt AC$. Gọi $D$ và $E$ lần lượt là các điểm nằm trong các cạnh $AB$ và $AC$ của tam giác $ABC$ sao cho $DB = BC = CE$. Chứng minh rằng $\overline{DE} \perp \overline{IO}$.

Cho $m \gt 1$ là một số nguyên dương cố định. Với một xâu khác rỗng $S$ gồm các chữ số thập phân, gọi $c(S)$ là số cách tách $S$ thành các xâu chữ số liền nhau, khác rỗng sao cho số thập phân biểu diễn bởi mỗi xâu đều chia hết cho $m$. Các xâu này được phép có chữ số $0$ ở đầu.
Theo $m$, $c(S)$ có thể nhận những giá trị nào?
Ví dụ, nếu $m = 2$ thì $c(1234) = 2$ vì các cách tách $1234$ và $12 \mid 34$ là hợp lệ, còn sáu cách tách còn lại không hợp lệ.

Xét một tập hữu hạn các điểm $T \subset \mathbb{R}^n$ nằm trong hình cầu đơn vị $n$ chiều tâm tại gốc tọa độ, và gọi $X$ là bao lồi của $T$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ và mọi điểm $x \in X$, tồn tại các điểm $t_1, t_2, \ldots, t_k \in T$, không nhất thiết phân biệt, sao cho trọng tâm của chúng
$$
\frac{t_1 + t_2 + \cdots + t_k}{k}
$$
có khoảng cách Euclid tới $x$ không vượt quá $\frac{1}{\sqrt{k}}$.

(Hình cầu đơn vị $n$ chiều tâm tại gốc tọa độ là tập hợp các điểm trong $\mathbb{R}^n$ có khoảng cách Euclid tới gốc tọa độ không vượt quá 1. Bao lồi của một tập điểm $T \subset \mathbb{R}^n$ là tập điểm $X$ nhỏ nhất chứa $T$ sao cho mỗi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc $X$ nằm hoàn toàn trong $X$.)

Một đa giác trong mặt phẳng (không tự cắt) được gọi là cân bằng nếu mọi đường thẳng đi qua gốc tọa độ đều chia đa giác thành hai miền (có thể không liên thông) có diện tích bằng nhau.
Có tồn tại một đa giác cân bằng mà không đối xứng tâm qua gốc tọa độ hay không?
(Một đa giác được gọi là đối xứng tâm qua gốc tọa độ nếu phép quay $180$ độ quanh gốc tọa độ biến đa giác thành chính nó.)

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ sao cho
$$
f(x+f(y+x y))=(y+1) f(x+1)-1
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{R}^{+}$.
($\mathbb{R}^{+}$ ký hiệu tập hợp các số thực dương.)

Cho $G$ là một đơn đồ thị vô hướng. Gọi $f(G)$ là số cách định hướng tất cả các cạnh của $G$ (mỗi cạnh theo một trong hai chiều) sao cho đồ thị có hướng thu được không có chu trình có hướng. Chứng minh rằng $f(G)$ chia hết cho $3$ khi và chỉ khi $G$ có một chu trình độ dài lẻ.

Với một số thực $c$ nào đó, đồ thị của phương trình $y = |x - 20| + |x + 18|$ và đường thẳng $y = x + c$ cắt nhau tại đúng một điểm. Tìm $c$.

Có hai số nguyên tố $p$ sao cho $5p$ có thể biểu diễn dưới dạng $\left\lfloor\frac{n^{2}}{5}\right\rfloor$ với một số nguyên dương $n$ nào đó. Tổng của hai số nguyên tố này bằng bao nhiêu?

Cho $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots, \omega_{100}$ là các nghiệm của $\frac{x^{101}-1}{x-1}$ (theo một thứ tự nào đó). Xét tập hợp
$$
S=\left\{\omega_{1}^{1}, \omega_{2}^{2}, \omega_{3}^{3}, \ldots, \omega_{100}^{100}\right\}
$$
Gọi $M$ là số lớn nhất có thể của các giá trị phân biệt trong $S$, và $N$ là số nhỏ nhất có thể của các giá trị phân biệt trong $S$. Tìm $M-N$.

Cho $\alpha, \beta$ và $\gamma$ là ba số thực. Giả sử
$$
\begin{aligned}
\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma & =1 \\
\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma & =1
\end{aligned}
$$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $\cos \alpha$.

Rachel đang cầm số $1000$ trên tay. Khi cô ấy cho số $x$ vào túi trái, số đó biến thành $x+1$. Khi cô ấy cho số $x$ vào túi phải, số đó biến thành $x^{-1}$. Mỗi phút, cô ấy tung một đồng xu cân đối. Nếu được mặt ngửa, cô ấy cho số vào túi trái, còn nếu được mặt sấp, cô ấy cho số vào túi phải. Sau đó cô ấy lấy số mới ra khỏi túi. Nếu giá trị kỳ vọng của số trên tay Rachel sau tám phút là $E$, hãy tính $\left\lfloor\frac{E}{10}\right\rfloor$.

Có bao nhiêu cặp dãy số nguyên không âm $\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{2018}\right)$ và $\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{2018}\right)$ sao cho tồn tại một dãy số nguyên không âm $\left(a_{0}, \ldots, a_{2018}\right)$ có các tính chất sau:
- Với $0 \leq i \leq 2018$, $a_{i}\lt 2^{2018}$;
- Với $1 \leq i \leq 2018$, $b_{i}=a_{i-1}+a_{i}$ và $c_{i}=a_{i-1} \mid a_{i}$;
trong đó $\mid$ ký hiệu phép hoặc theo bit (bitwise or)?
(Phép hoặc theo bit của hai số nguyên không âm $x=\cdots x_{3} x_{2} x_{1} x_{0}$ và $y=\cdots y_{3} y_{2} y_{1} y_{0}$ viết trong hệ nhị phân được định nghĩa là $x \mid y=\cdots z_{3} z_{2} z_{1} z_{0}$, trong đó $z_{i}=1$ nếu ít nhất một trong hai số $x_{i}$ và $y_{i}$ bằng 1, và bằng 0 trong trường hợp ngược lại.)