Câu hỏi 11
Xét một tập hữu hạn các điểm $T \subset \mathbb{R}^n$ nằm trong hình cầu đơn vị $n$ chiều tâm tại gốc tọa độ, và gọi $X$ là bao lồi của $T$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ và mọi điểm $x \in X$, tồn tại các điểm $t_1, t_2, \ldots, t_k \in T$, không nhất thiết phân biệt, sao cho trọng tâm của chúng
$$
\frac{t_1 + t_2 + \cdots + t_k}{k}
$$
có khoảng cách Euclid tới $x$ không vượt quá $\frac{1}{\sqrt{k}}$.
(Hình cầu đơn vị $n$ chiều tâm tại gốc tọa độ là tập hợp các điểm trong $\mathbb{R}^n$ có khoảng cách Euclid tới gốc tọa độ không vượt quá 1. Bao lồi của một tập điểm $T \subset \mathbb{R}^n$ là tập điểm $X$ nhỏ nhất chứa $T$ sao cho mỗi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc $X$ nằm hoàn toàn trong $X$.)
$$
\frac{t_1 + t_2 + \cdots + t_k}{k}
$$
có khoảng cách Euclid tới $x$ không vượt quá $\frac{1}{\sqrt{k}}$.
(Hình cầu đơn vị $n$ chiều tâm tại gốc tọa độ là tập hợp các điểm trong $\mathbb{R}^n$ có khoảng cách Euclid tới gốc tọa độ không vượt quá 1. Bao lồi của một tập điểm $T \subset \mathbb{R}^n$ là tập điểm $X$ nhỏ nhất chứa $T$ sao cho mỗi đoạn thẳng nối hai điểm thuộc $X$ nằm hoàn toàn trong $X$.)