MathNet 2019-part-08 — 179 bài (EN–VI)

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$ song song với cạnh $BC$ của một tam giác nhọn thì $\cos B + \cos C = 1$.

Để chơi trò xổ số Sum Thing, bạn chọn năm số phân biệt từ $1$ đến $50$, sau đó người quản lý xổ số chọn năm số phân biệt từ $1$ đến $50$. Nếu tồn tại một tập con khác rỗng của năm số của bạn và một tập con khác rỗng của năm số của người quản lý xổ số sao cho hai tập con này có tổng bằng nhau thì bạn thắng.
Bạn có thể chọn năm số để chắc chắn thắng hay không? Hoặc chỉ ra một tập như vậy kèm chứng minh tính đúng đắn, hoặc chứng minh rằng không tồn tại tập như vậy.

Cho $ABC$ là một tam giác nhọn không cân với tâm đường tròn nội tiếp $I$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ cắt đường thẳng Euler của tam giác $ABC$ tại hai điểm phân biệt.

(Nhắc lại rằng đường thẳng Euler của một tam giác không cân là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn chín điểm của nó.)

Cho $ABCD$ là một hình bình hành. Các điểm $X$ và $Y$ lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $AB$ và $AD$, và $AC$ cắt $XY$ tại điểm $Z$. Chứng minh rằng
$$
\frac{AB}{AX} + \frac{AD}{AY} = \frac{AC}{AZ}
$$

Cho $\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương, và cho $f$ là một song ánh từ $\mathbb{N}$ vào $\mathbb{N}$. Có nhất thiết tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $(f(1), f(2), \ldots, f(n))$ là một hoán vị của $(1,2, \ldots, n)$ hay không?

Annie có một hoán vị $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2019}\right)$ của $S=\{1,2, \ldots, 2019\}$, và Yannick muốn đoán hoán vị của cô. Mỗi lần đoán, Yannick đưa cho Annie một bộ $n$ số $(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{2019})$ gồm các số nguyên thuộc $S$, sau đó Annie cho biết số các chỉ số $i \in S$ sao cho $a_{i}=y_{i}$.

a. Chứng minh rằng Yannick luôn có thể đoán được hoán vị của Annie với không quá 1200000 lần đoán.

b. Chứng minh rằng Yannick luôn có thể đoán được hoán vị của Annie với không quá 24000 lần đoán.

Có tồn tại bốn điểm $P_{i} = (x_{i}, y_{i}) \in \mathbb{R}^{2}$ ($1 \leq i \leq 4$) trên mặt phẳng sao cho:
- với mọi $i = 1,2,3,4$, bất đẳng thức $x_{i}^{4} + y_{i}^{4} \leq x_{i}^{3} + y_{i}^{3}$ được thỏa mãn, và
- với mọi $i \neq j$, khoảng cách giữa $P_{i}$ và $P_{j}$ lớn hơn $1$ hay không?

Với mọi góc $0 \lt \theta \lt \pi / 2$, chứng minh rằng
$$
0 \lt \sin \theta + \cos \theta + \tan \theta + \cot \theta - \sec \theta - \csc \theta \lt 1
$$

Một cây xương rồng (cactus) là một đồ thị đơn, hữu hạn, liên thông trong đó không có hai chu trình nào có chung một cạnh. Chứng minh rằng trong một cây xương rồng khác rỗng, luôn tồn tại một đỉnh thuộc nhiều nhất một chu trình.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho không tồn tại $n$ số nguyên dương hợp số liên tiếp nhỏ hơn $n!$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho các đoạn thẳng đơn vị của một lưới $n \times n$ ô vuông đơn vị có thể được chia thành các nhóm ba đoạn sao cho các đoạn trong mỗi nhóm có chung một đỉnh.

Cho $p=2017$ là một số nguyên tố và $\mathbb{F}_p$ là tập các số nguyên modulo $p$. Một hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{F}_p$ được gọi là tốt nếu tồn tại $\alpha \in \mathbb{F}_p$ với $\alpha \not \equiv 0 (\bmod p)$ sao cho
$$
f(x) f(y) = f(x+y) + \alpha^{y} f(x-y) \quad (\bmod p)
$$
với mọi $x, y \in \mathbb{Z}$. Có bao nhiêu hàm số tốt tuần hoàn với chu kỳ nhỏ nhất bằng $2016$?

Tam giác không cân $ABC$ thỏa mãn $\angle A = 60^{\circ}$. Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp của $ABC$ là $O$, trực tâm là $H$, và tâm đường tròn nội tiếp là $I$. Gọi $D, T$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $BC$ với đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc $\angle A$. Chọn điểm $X$ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $\triangle IHO$ sao cho $HX \parallel AI$. Chứng minh rằng $OD \perp TX$.

Một đa giác lồi trên mặt phẳng được gọi là rộng nếu hình chiếu của đa giác lên một đường thẳng bất kỳ trong cùng mặt phẳng là một đoạn thẳng có độ dài ít nhất $1$. Chứng minh rằng có thể đặt một hình tròn bán kính $\frac{1}{3}$ nằm hoàn toàn bên trong mọi đa giác rộng.

Người đề xuất: Shengtong Zhang

Có thể tô màu tập các điểm nguyên $\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}, 1 \leq x, y \leq 252, x \neq y\}$ bằng 10 màu phân biệt sao cho với mọi $a \neq b, b \neq c$, màu của $(a, b)$ và $(b, c)$ khác nhau hay không?

Cho $p \gt 2$ là một số nguyên tố. $\mathbb{F}_p[x]$ được định nghĩa là tập tất cả các đa thức theo $x$ với hệ số trong $\mathbb{F}_p$ (các số nguyên modulo $p$ với phép cộng và phép trừ thông thường), sao cho hai đa thức bằng nhau khi và chỉ khi các hệ số của $x^k$ bằng nhau trong $\mathbb{F}_p$ với mọi số nguyên không âm $k$. Ví dụ, $(x+2)(2x+3) = 2x^2 + 2x + 1$ trong $\mathbb{F}_5[x]$ vì các hệ số tương ứng bằng nhau modulo $5$.
Cho $f, g \in \mathbb{F}_p[x]$. Cặp $(f, g)$ được gọi là cặp hợp thành nếu
$$
f(g(x)) \equiv x^{p^2} - x
$$
trong $\mathbb{F}_p[x]$. Tìm, kèm chứng minh, số cặp hợp thành (theo $p$).

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, mọi nghiệm phức $r$ của đa thức
$$
P(x) = (2 n) x^{2 n} + (2 n-1) x^{2 n-1} + \cdots + (n+1) x^{n+1} + n x^{n} + (n+1) x^{n-1} + \cdots + (2 n-1) x + 2 n
$$
đều nằm trên đường tròn đơn vị (tức là $|r|=1$).

Số nguyên dương nhỏ nhất không thể viết được dưới dạng tổng của hai số nguyên không âm đối xứng là số nào? (Một số nguyên được gọi là đối xứng (palindrome) nếu dãy các chữ số thập phân của nó không đổi khi đọc ngược lại.)

Cho $N=2^{\left(2^{2}\right)}$ và $x$ là một số thực sao cho $N^{\left(N^{N}\right)}=2^{\left(2^{x}\right)}$. Tìm $x$.

Cho $x$ và $y$ là các số thực dương. Đặt $a=1+\frac{x}{y}$ và $b=1+\frac{y}{x}$. Nếu $a^{2}+b^{2}=15$, hãy tính $a^{3}+b^{3}$.