Trong một trường học có 40 câu lạc bộ khác nhau, mỗi câu lạc bộ có đúng 30 học sinh. Với mỗi $i$ từ $1$ đến $30$, kí hiệu $n_{i}$ là số học sinh tham gia đúng $i$ câu lạc bộ. Chứng minh rằng có thể tổ chức 40 câu lạc bộ mới, mỗi câu lạc bộ có 30 học sinh, sao cho các số tương ứng $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{30}$ đối với chúng vẫn giữ nguyên.
Gọi tam giác Pascal là một bảng số hình tam giác đều gồm $2019$ hàng, trong đó, trừ các số ở hàng dưới cùng, mỗi số bằng tổng của hai số ngay bên dưới nó. Có bao nhiêu cách gán cho mỗi số $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{2018}$ (từ trái sang phải) ở hàng dưới cùng giá trị $0$ hoặc $1$ sao cho số $S$ ở đỉnh chia hết cho $1009$?
Cho các số nguyên dương đôi một khác nhau $a$, $b$, $c$ với $\operatorname{gcd}(a, b, c) = 1$ thỏa mãn
$$
a \mid (b - c)^2, \quad b \mid (c - a)^2, \quad c \mid (a - b)^2.
$$
Chứng minh rằng không tồn tại tam giác không suy biến có độ dài các cạnh là $a$, $b$ và $c$.
Cho số nguyên dương $n \gt 1$. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác hằng, với hệ số thực, sao cho
$$
P(x) P\left(x^{2}\right) \ldots P\left(x^{n}\right) = P\left(x^{\frac{n(n+1)}{2}}\right)
$$
với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$ có tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm lần lượt là $O$, $H$. Chứng minh rằng các đường tròn chín điểm của các tam giác $AHO$, $BHO$, $CHO$ có hai điểm chung.
Cho $P(x)$ là đa thức monic bậc $100$ có $100$ nghiệm thực phân biệt, không nguyên. Giả sử mỗi đa thức $P\left(2x^{2}-4x\right)$ và $P\left(4x-2x^{2}\right)$ có đúng $130$ nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức khác hằng $A(x), B(x)$ sao cho $A(x)B(x)=P(x)$ và phương trình $A(x)=B(x)$ không có nghiệm trong $(-1 ; 1)$.
Cho tam giác $ABC$, đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $F$, $E$. Cho $P$ là một điểm trên đường tròn này. Gọi $C_{0}$, $B_{0}$ lần lượt là hình chiếu của $P$ trên các cạnh $AB$, $AC$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $AB_{0}C_{0}$. Chứng minh rằng $\angle EHF = 90^{\circ}$.
Ban đầu tất cả các số $1, 2, 3, \ldots, 1000000$ đều được tô màu đen. Ở mỗi bước, được phép chọn một số $x$ (trong các số đã tô màu) và đổi màu của $x$ cùng tất cả các số không nguyên tố cùng nhau với $x$ (đen thành trắng, trắng thành đen). Hỏi có thể làm cho tất cả các số đều có màu trắng hay không?
Tìm số nguyên $m$ nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên dương $n \gt k \gt 1$ thỏa mãn phương trình
$$
\underbrace{11 \ldots 1}_{n} = \underbrace{11 \ldots 1}_{k} \cdot m.
$$
Một quân mã tấn công các ô ở khoảng cách $\sqrt{5}$. Đặt một số quân mã lên bàn cờ $12 \times 12$ sao cho mọi hình vuông kích thước $2 \times 2$ đều chứa ít nhất một quân mã. Tìm số lớn nhất có thể các ô không bị tấn công (một quân mã không tấn công ô mà nó đứng).
Có bao nhiêu số nguyên $n$ thỏa mãn các điều kiện sau?
i) $219 \leq n \leq 2019$,
ii) tồn tại $x, y \in \mathbb{Z}$ sao cho $1 \leq x \lt n \lt y$ và $y$ chia hết cho tất cả các số nguyên từ $1$ đến $n$, trừ hai số $x$ và $x+1$.
Cho $AD$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$ với $\angle A = 90^{\circ}$. Gọi $DE$ là đường cao của tam giác $ADB$ và $DZ$ là đường cao của tam giác $ADC$. Lấy điểm $N$ trên đường thẳng $AB$ sao cho $CN$ song song với $EZ$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua đường thẳng $EZ$ và $I, K$ lần lượt là hình chiếu của $A'$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng $\angle NA'T = \angle ADT$, trong đó $T$ là giao điểm của $IK$ và $DE$.
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $1$, điểm $E$ nằm trên $BC$ và $F$ nằm trên $CD$ sao cho $\angle EAB = 20^{\circ}$, $\angle EAF = 45^{\circ}$. Tính độ dài đường cao $AH$ của $\triangle AEF$.
Chứng minh bất đẳng thức sau với các số không âm $a, b, c$
$$
a \sqrt{3 a^{2}+6 b^{2}}+b \sqrt{3 b^{2}+6 c^{2}}+c \sqrt{3 c^{2}+6 a^{2}} \geq (a+b+c)^{2}.
$$
Một hình vuông $11 \times 11$ được chia thành 121 hình vuông nhỏ $1 \times 1$, trong đó 4 ô được tô đen, các ô còn lại màu trắng. Ta cắt ra từ hình vuông lớn $11 \times 11$ một hình chữ nhật (có thể là hình vuông) toàn màu trắng. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật mà ta luôn cắt được, bất kể vị trí các ô đen, là bao nhiêu? Chỉ được cắt hình chữ nhật theo các đường lưới.
Xác định số lớn nhất các hình chữ thập (gồm 5 ô vuông) rời nhau có thể đặt vào bên trong bàn cờ $8 \times 8$ sao cho các cạnh của hình chữ thập song song với các cạnh của bàn cờ.
Cho tam giác nhọn, không cân $ABC$. Lấy hai điểm $D, E$ nằm trong tam giác sao cho
$$
\begin{aligned}
& \angle DAB = \angle DCB, \quad \angle DAC = \angle DBC; \\
& \angle EAB = \angle EBC, \quad \angle EAC = \angle ECB.
\end{aligned}
$$
Chứng minh rằng tam giác $ADE$ vuông.
Cho $n$ là số nguyên dương và $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là các số thực bất kì. Chứng minh rằng tồn tại $m, k \in \{1,2, \ldots, n\}$ sao cho
$$
\left|\sum_{i=1}^{m} a_{i}-\sum_{i=m+1}^{n} a_{i}\right| \leq\left|a_{k}\right| .
$$
