AIME I năm 2013

Cuộc thi ba môn phối hợp AIME bao gồm bơi nửa dặm, đạp xe $30$ dặm và chạy tám dặm. Tom bơi lội, đạp xe và chạy với tốc độ không đổi. Anh ấy chạy nhanh gấp 5 lần tốc độ bơi và tốc độ đạp xe nhanh gấp 2 lần tốc độ chạy. Tom hoàn thành cuộc thi ba môn phối hợp AIME trong bốn tiếng rưỡi. Anh ấy dành bao nhiêu phút để đi xe đạp?

Tìm số số nguyên dương có 5 chữ số, $n,$ thỏa mãn các điều kiện sau:

• số $n$ là chia hết cho $5,$

• chữ số đầu tiên và cuối cùng của $n$ bằng nhau và

• tổng các chữ số của $n$ là chia hết cho $5.$

Đặt $ABCD$ là một hình vuông và đặt $E$ và $F$ lần lượt là các điểm trên $\overline{AB}$ và $\overline{BC},$. Đường thẳng đi qua $E$ song song với $\overline{BC}$ và đường thẳng đi qua $F$ song song với $\overline{AB}$ chia $ABCD$ thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật không vuông. Tổng diện tích của hai hình vuông là $\frac{9}{10}$ của diện tích của hình vuông $ABCD.$ Tìm $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

Trong mảng $13$ hình vuông được hiển thị bên dưới, các hình vuông $8$ có màu đỏ và các hình vuông $5$ còn lại có màu xanh lam. Nếu một trong tất cả các màu có thể có như vậy được chọn ngẫu nhiên, xác suất mà mảng màu được chọn sẽ xuất hiện giống nhau khi xoay $90^\circ$ quanh hình vuông trung tâm là $\frac{1}{n},$ trong đó $n$ là số nguyên dương. Tìm $n.$

Căn thực của phương trình $8x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$ có thể được viết dưới dạng $\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + 1}{c},$ trong đó $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương. Tìm $a + b + c.$

Melinda có ba ô trống và sách giáo khoa $12$, ba trong số đó là sách giáo khoa toán. Một hộp sẽ đựng ba cuốn sách giáo khoa bất kỳ của cô ấy, một hộp sẽ đựng bốn cuốn sách giáo khoa bất kỳ của cô ấy, và một hộp sẽ đựng năm cuốn sách giáo khoa bất kỳ của cô ấy. Nếu Melinda đóng gói sách giáo khoa của mình vào các hộp này theo thứ tự ngẫu nhiên, thì xác suất mà cả ba sách giáo khoa toán đều nằm trong cùng một hộp có thể được viết là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Một hộp hình chữ nhật có chiều rộng $12$ inch, chiều dài $16$ inch và chiều cao $\frac{m}{n}$ inch, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Ba mặt của hộp gặp nhau ở một góc của hộp. Tâm của ba mặt đó là các đỉnh của một tam giác có diện tích là $30$ inch vuông. Tìm $m + n.$

Miền xác định của hàm $f(x) = \arcsin(\log_m(nx))$ là một khoảng đóng có độ dài $\frac{1}{2013},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương và $m \gt 1.$ Tìm số dư khi tổng nhỏ nhất có thể $m + n$ được chia cho $1000.$

Một tờ giấy tam giác đều $ABC$ có chiều dài cạnh $12.$ Tam giác giấy được gấp sao cho đỉnh $A$ chạm vào một điểm trên cạnh $\overline{BC}$ một khoảng cách $9$ tính từ điểm $B.$ Độ dài của đoạn thẳng mà tam giác được gấp có thể được viết là $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ trong đó $m,$ $n,$ và $p$ là các số nguyên dương, $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau và $p$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$

Có các số nguyên khác 0 $a,$ $b,$ $r,$ và $s$ sao cho số phức $r + si$ là số 0 của đa thức $P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 65.$ Với mỗi tổ hợp có thể có của $a$ và $b,$, hãy để $p_{a,b}$ là tổng các số 0 của $P(x).$ Tìm tổng của $p_{a,b}$ cho tất cả các kết hợp có thể có của $a$ và $b.$

Lớp mẫu giáo của cô Math có $16$ học sinh đăng ký. Lớp học có số lượng khối chơi rất lớn $N,$ thỏa mãn các điều kiện:

• Nếu $16,$ $15,$ hoặc $14$ học sinh có mặt trong lớp thì trong mỗi trường hợp, tất cả các khối có thể được phân phối với số lượng bằng nhau cho mỗi học sinh và

• Có ba số nguyên $0 \lt x \lt y \lt z \lt 14$ sao cho khi có học sinh $x,$ $y,$ hoặc $z$ và các khối được phân phát với số lượng bằng nhau cho mỗi học sinh thì chỉ còn lại đúng ba khối.

Tìm tổng các ước nguyên tố riêng biệt có giá trị nhỏ nhất có thể là $N$ thỏa mãn các điều kiện trên.

Giả sử $\triangle PQR$ là một tam giác có $\angle P = 75^\circ$ và $\angle Q = 60^\circ.$ Một hình lục giác đều $ABCDEF$ có độ dài cạnh $1$ được vẽ bên trong $\triangle PQR$ sao cho cạnh $\overline{AB}$ nằm trên cạnh $\overline{PQ},$ $\overline{CD}$ nằm trên $\overline{QR},$ và một trong các đỉnh còn lại nằm trên $\overline{RP}.$ Có các số nguyên dương $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ sao cho diện tích của $\triangle PQR$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{a + b\sqrt{c}}{d},$ trong đó $a$ và $d$ là các số nguyên tố cùng nhau và $c$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c + d.$

Tam giác $AB_0C_0$ có độ dài các cạnh $AB_0 = 12,$ $B_0C_0 = 17,$ và $C_0A = 25.$ Với mỗi số nguyên dương $n,$ điểm $B_n$ và $C_n$ lần lượt nằm trên $\overline{AB_{n-1}}$ và $\overline{AC_{n-1}},$ tạo ba đồng dạng tam giác $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1}$ $\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}.$ diện tích của hợp tất cả các tam giác $B_{n-1}C_nB_n$ cho $n \ge 1$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $q.$

Với $\pi \le \theta \lt 2\pi,$ đặt $$
\begin{aligned} P &= \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{8}\cos 3\theta + \frac{1}{16}\sin 4\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{32}\cos 5\theta - \frac{1}{64}\sin 6\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{128}\cos 7\theta + \ldots \end{aligned}
$$ và $$
\begin{aligned} Q &= 1 - \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{1}{4}\cos 2\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{8}\sin 3\theta + \frac{1}{16}\cos 4\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{32}\sin 5\theta - \frac{1}{64}\cos 6\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{128}\sin 7\theta + \ldots \end{aligned}
$$ sao cho $\frac{P}{Q} = \frac{2\sqrt{2}}{7}.$ Sau đó $\sin\theta = -\frac{m}{n}$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$

Đặt $N$ là số bộ ba có thứ tự $(A, B, C)$ của các số nguyên thỏa mãn điều kiện

• $0 \le A \lt B \lt C \le 99,$

• tồn tại các số nguyên $a,$ $b,$ và $c,$ và số nguyên tố $p$ trong đó $0 \le b \lt a \lt c \lt p,$

• $p$ chia $A - a,$ $B - b,$ và $C - c,$ và

• mỗi bộ ba có thứ tự $(A, B, C)$ và mỗi bộ ba có thứ tự $(b, a, c)$ tạo thành các chuỗi số học.

Tìm $N.$