Câu hỏi 14
Với $\pi \le \theta \lt 2\pi,$ đặt $$
\begin{aligned} P &= \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{8}\cos 3\theta + \frac{1}{16}\sin 4\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{32}\cos 5\theta - \frac{1}{64}\sin 6\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{128}\cos 7\theta + \ldots \end{aligned}
$$ và $$
\begin{aligned} Q &= 1 - \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{1}{4}\cos 2\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{8}\sin 3\theta + \frac{1}{16}\cos 4\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{32}\sin 5\theta - \frac{1}{64}\cos 6\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{128}\sin 7\theta + \ldots \end{aligned}
$$ sao cho $\frac{P}{Q} = \frac{2\sqrt{2}}{7}.$ Sau đó $\sin\theta = -\frac{m}{n}$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
\begin{aligned} P &= \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{1}{4}\sin 2\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{8}\cos 3\theta + \frac{1}{16}\sin 4\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{32}\cos 5\theta - \frac{1}{64}\sin 6\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{128}\cos 7\theta + \ldots \end{aligned}
$$ và $$
\begin{aligned} Q &= 1 - \frac{1}{2}\sin\theta - \frac{1}{4}\cos 2\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{8}\sin 3\theta + \frac{1}{16}\cos 4\theta \\ &\quad {}- \frac{1}{32}\sin 5\theta - \frac{1}{64}\cos 6\theta \\ &\quad {}+ \frac{1}{128}\sin 7\theta + \ldots \end{aligned}
$$ sao cho $\frac{P}{Q} = \frac{2\sqrt{2}}{7}.$ Sau đó $\sin\theta = -\frac{m}{n}$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$