AIME I năm 2012

Tìm số số nguyên dương có ba chữ số không nhất thiết phải phân biệt, $abc,$ với $a \ne 0$ và $c \ne 0$ sao cho cả $abc$ và $cba$ đều là bội số của $4.$

Các số hạng của cấp số cộng thêm vào $715.$ Số hạng đầu tiên của dãy được tăng thêm $1,$ số hạng thứ hai được tăng thêm $3,$ số hạng thứ ba được tăng thêm $5,$ và nói chung, số hạng thứ $k$được tăng theo số lẻ thứ $k$ số nguyên dương. Các số hạng của dãy mới cộng vào $836.$ Tìm tổng của số hạng đầu, số cuối và số hạng ở giữa của dãy ban đầu.

Chín người ngồi ăn tối trong đó có ba lựa chọn bữa ăn. Ba người gọi món thịt bò, ba người gọi món gà và ba người gọi món cá. Người phục vụ phục vụ chín bữa ăn theo thứ tự ngẫu nhiên. Tìm số cách mà người phục vụ có thể phục vụ các loại bữa ăn cho chín người sao cho có đúng một người nhận được loại bữa ăn mà người đó yêu cầu.

Butch và Sundance cần phải rời khỏi Dodge. Để di chuyển nhanh nhất có thể, mỗi người thay phiên nhau đi bộ và cưỡi con ngựa duy nhất của mình, Sparky, như sau. Butch bắt đầu bằng việc đi bộ trong khi Sundance cưỡi ngựa. Khi Sundance đến cột đầu tiên nằm ở vị trí thuận tiện cách nhau một dặm dọc theo tuyến đường của họ, anh ta buộc Sparky vào cột và bắt đầu đi bộ. Khi Butch đến Sparky, anh ta cưỡi ngựa cho đến khi vượt qua Sundance, sau đó để Sparky ở trạm quá giang tiếp theo và tiếp tục đi bộ, và họ tiếp tục theo cách này. Sparky, Butch và Sundance lần lượt đi bộ với vận tốc $6,$ $4,$ và $2.5$ dặm một giờ. Lần đầu tiên Butch và Sundance gặp nhau ở một cột mốc, họ cách Dodge $n$ dặm và họ đã đi được $t$ phút. Tìm $n + t.$

Đặt $B$ là tập hợp tất cả các số nguyên nhị phân có thể được viết bằng cách sử dụng chính xác các số 0 $5$ và $8$ trong đó cho phép các số 0 đứng đầu. Nếu tất cả các phép trừ có thể được thực hiện trong đó một phần tử của $B$ bị trừ khỏi phần tử khác, hãy tìm số lần thu được câu trả lời $1$.

Các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ và phần ảo của $z$ là $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ cho các số nguyên dương tương đối $m$ và $n$ với $m \lt n.$ Tìm $n.$

Tại mỗi vòng tròn trong số mười sáu vòng tròn trong mạng lưới bên dưới có một học sinh. Tổng cộng $3360$ xu được phân phát cho mười sáu học sinh. Cùng một lúc, tất cả học sinh sẽ tặng tất cả số xu của mình bằng cách chuyển một số lượng xu bằng nhau cho mỗi người hàng xóm trong mạng lưới. Sau khi giao dịch, tất cả học sinh đều có số xu như lúc đầu. Tìm số đồng xu mà học sinh đứng ở giữa vòng tròn ban đầu có.

Khối lập phương $ABCDEFGH,$ được dán nhãn như hình bên dưới, có chiều dài cạnh $1$ và được cắt bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh $D$ và các điểm giữa $M$ và $N$ của $\overline{AB}$ và $\overline{CG},$ tương ứng. Mặt phẳng chia khối lập phương thành hai khối. thể tích của khối lớn hơn trong hai khối có thể được viết dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$

Đặt $x,$ $y,$ và $z$ là các số thực dương thỏa mãn $$
\begin{aligned} 2\log_{x}(2y) &= 2\log_{2x}(4z) \\ &= \log_{2x^4}(8yz) \ne 0. \end{aligned}
$$ Giá trị của $xy^5z$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{1}{2^{\frac{p}{q}}},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$

Đặt $\mathcal{S}$ là tập hợp tất cả các số chính phương có ba chữ số ngoài cùng bên phải trong cơ số $10$ là $256.$ Đặt $\mathcal{T}$ là tập hợp tất cả các số có dạng $\frac{x - 256}{1000},$ trong đó $x$ nằm trong $\mathcal{S}.$ Nói cách khác, $\mathcal{T}$ là tập hợp các số được tạo ra khi ba chữ số cuối của mỗi số trong $\mathcal{S}$ bị cắt bớt. Tìm số dư khi phần tử nhỏ nhất thứ mười của $\mathcal{T}$ được chia cho $1000.$

Một con ếch bắt đầu ở $P_0 = (0, 0)$ và thực hiện một chuỗi các bước nhảy theo quy tắc sau: từ $P_n = (x_n, y_n),$ con ếch nhảy đến $P_{n+1},$ có thể là bất kỳ điểm nào $(x_n + 7, y_n + 2),$ $(x_n + 2, y_n + 7),$ $(x_n - 5, y_n - 10),$ hoặc $(x_n - 10, y_n - 5).$ Có $M$ điểm $(x, y)$ với $|x| + |y| \le 100$ có thể đạt được bằng một chuỗi các bước nhảy như vậy. Tìm số dư khi $M$ được chia cho $1000.$

Đặt $\triangle ABC$ là một tam giác vuông có góc vuông tại $C.$ Đặt $D$ và $E$ là các điểm trên $\overline{AB}$ với $D$ giữa $A$ và $E$ sao cho $\overline{CD}$ và $\overline{CE}$ trisect $\angle C.$ Nếu $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15},$ thì $\tan B$ có thể được viết là $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố và $p$ là số nguyên dương không phải chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $m + n + p.$

Ba đường tròn đồng tâm có bán kính $3,$ $4,$ và $5.$ Một tam giác đều với một đỉnh trên mỗi đường tròn có độ dài cạnh $s.$ diện tích lớn nhất có thể của tam giác có thể được viết là $a + \frac{b}{c}\sqrt{d},$ trong đó $a,$ $b,$ $c,$ và $d$ là các số nguyên dương, $b$ và $c$ là các số nguyên tố cùng nhau và $d$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào. Tìm $a + b + c + d.$

Số phức $a,$ $b,$ và $c$ là các số 0 của đa thức $P(z) = z^3 + qz + r,$ và $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.$ Các điểm tương ứng với $a,$ $b,$ và $c$ trong mặt phẳng phức là các đỉnh của một tam giác vuông với cạnh huyền $h.$ Tìm $h^2.$

Có $n$ nhà toán học ngồi quanh một chiếc bàn tròn có $n$ ghế được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ theo thứ tự theo chiều kim đồng hồ. Sau khi nghỉ giải lao, họ lại ngồi quanh bàn. Các nhà toán học lưu ý rằng có một số nguyên dương $a$ sao cho

$(1)$ cho mỗi $k,$ nhà toán học ngồi ở ghế $k$ trước giờ nghỉ được ngồi ở ghế $ka$ sau giờ nghỉ (trong đó ghế $i + n$ là ghế $i$);

$(2)$ đối với mỗi cặp nhà toán học, số nhà toán học ngồi giữa họ sau giờ nghỉ, tính theo cả hai hướng theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ, khác với số lượng nhà toán học ngồi giữa họ trước giờ nghỉ.

Tìm số giá trị có thể có của $n$ với $1 \lt n \lt 1000.$