AIME I năm 2012 Câu hỏi 15

Có $n$ nhà toán học ngồi quanh một chiếc bàn tròn có $n$ ghế được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ theo thứ tự theo chiều kim đồng hồ. Sau khi nghỉ giải lao, họ lại ngồi quanh bàn. Các nhà toán học lưu ý rằng có một số nguyên dương $a$ sao cho

$(1)$ cho mỗi $k,$ nhà toán học ngồi ở ghế $k$ trước giờ nghỉ được ngồi ở ghế $ka$ sau giờ nghỉ (trong đó ghế $i + n$ là ghế $i$);

$(2)$ đối với mỗi cặp nhà toán học, số nhà toán học ngồi giữa họ sau giờ nghỉ, tính theo cả hai hướng theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ, khác với số lượng nhà toán học ngồi giữa họ trước giờ nghỉ.

Tìm số giá trị có thể có của $n$ với $1 \lt n \lt 1000.$