AIME II năm 2012

Tìm số thứ tự các cặp nghiệm số nguyên dương $(m, n)$ của phương trình $$
20m + 12n = 2012.
$$

Hai dãy hình học $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ và $b_1,$ $b_2,$ $b_3,$ $\ldots$ có cùng tỷ lệ chung, với $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ và $a_{15} = b_{11}.$ Tìm $a_9.$

Tại một trường đại học nào đó, bộ môn khoa học toán học bao gồm các khoa toán, thống kê và khoa học máy tính. Mỗi khoa có hai giáo sư nam và hai nữ. Một ủy ban gồm sáu giáo sư phải có ba nam và ba nữ và cũng phải có hai giáo sư từ mỗi khoa trong số ba khoa. Tìm số lượng ủy ban có thể được thành lập theo những yêu cầu này.

Ana, Bob và Cao đạp xe với tốc độ không đổi lần lượt là $8.6$ mét mỗi giây, $6.2$ mét mỗi giây và $5$ mét mỗi giây. Tất cả họ đều bắt đầu đạp xe cùng lúc từ góc đông bắc của một cánh đồng hình chữ nhật có cạnh dài hơn chạy về phía tây. Ana bắt đầu đạp xe dọc theo rìa sân, ban đầu hướng về phía tây, Bob bắt đầu đạp xe dọc theo rìa sân, ban đầu đi về hướng nam, và Cao đạp xe theo đường thẳng băng qua sân đến điểm $D$ ở rìa phía nam của sân. Cao đến điểm $D$ cùng lúc Ana và Bob đến $D$ lần đầu tiên. Tỷ lệ giữa chiều dài của trường với chiều rộng của trường với khoảng cách từ điểm $D$ đến góc đông nam của trường có thể được biểu diễn dưới dạng $p : q : r,$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số nguyên dương với $p$ và $q$ tương ứng nguyên tố. Tìm $p + q + r.$

Trong hình đi kèm, hình vuông bên ngoài $S$ có chiều dài cạnh $40.$ Hình vuông thứ hai $S'$ có chiều dài cạnh $15$ được dựng bên trong $S$ có cùng tâm với $S$ và có các cạnh song song với các cạnh của $S.$ Từ mỗi điểm giữa của một cạnh của Các đoạn $S,$ được vẽ theo hai đỉnh gần nhất của $S'.$ Kết quả là một hình ngôi sao bốn cánh nội tiếp $S.$ Hình ngôi sao được cắt ra và sau đó gấp lại để tạo thành một kim tự tháp có đáy $S'.$ Tìm thể tích của kim tự tháp này.

Đặt $z = a + b\mathrm{i}$ là số phức với $|z| = 5$ và $b \gt 0$ sao cho khoảng cách giữa $(1 + 2\mathrm{i})z^3$ và $z^5$ là lớn nhất và để $z^4 = c + d\mathrm{i}.$ Tìm $c + d.$

Đặt $S$ là dãy số nguyên dương tăng dần có biểu diễn nhị phân chính xác là $8$ số một. Gọi $N$ là số thứ $1000$trong $S.$ Tìm số dư khi $N$ chia cho $1000.$

Các số phức $z$ và $w$ thỏa mãn hệ $$
z + \frac{20\mathrm{i}}{w} = 5 + \mathrm{i},
$$ $$
w + \frac{12\mathrm{i}}{z} = -4 + 10\mathrm{i}.
$$

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $|zw|^2.$

Đặt $x$ và $y$ là các số thực sao cho $\frac{\sin x}{\sin y} = 3$ và $\frac{\cos x}{\cos y} = \frac{1}{2}.$ Giá trị của $\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x}{\cos 2y}$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $p + q.$

Tìm số số nguyên dương $n$ nhỏ hơn $1000$ mà tồn tại số thực dương $x$ sao cho $n = x\lfloor x \rfloor.$

Lưu ý: $\lfloor x \rfloor$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x.$

Đặt $f_1(x) = \frac{2}{3} - \frac{3}{3x + 1},$ và cho $n \ge 2,$ xác định $f_n(x) = f_1(f_{n-1}(x)).$ Giá trị của $x$ thỏa mãn $f_{1001}(x) = x - 3$ có thể được biểu thị dưới dạng $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$

Đối với số nguyên dương $p,$, hãy xác định số nguyên dương $n$ là $p$-*safe* nếu $n$ khác nhau về giá trị tuyệt đối nhiều hơn $2$ từ tất cả bội số của $p.$ Ví dụ: tập hợp các số $10$-safe là $\{3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $13,$ $14,$ $15,$ $16,$ $17,$ $23,$ $\ldots\}.$ Tìm số số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng $10{,}000$ đồng thời là $7$-safe, $11$-safe và $13$-safe.

$\triangle ABC$ đều có độ dài cạnh $\sqrt{111}.$ Có bốn hình tam giác phân biệt $AD_1E_1,$ $AD_1E_2,$ $AD_2E_3,$ và $AD_2E_4,$ mỗi tam giác bằng nhau đến $\triangle ABC,$ với $BD_1 = BD_2 = \sqrt{11}.$ Tìm $\sum_{k=1}^{4}(CE_k)^2.$

Trong một nhóm chín người, mỗi người bắt tay đúng hai người còn lại trong nhóm. Gọi $N$ là số cách mà việc bắt tay này có thể xảy ra. Hãy coi hai cách sắp xếp bắt tay khác nhau khi và chỉ khi ít nhất hai người bắt tay theo cách sắp xếp này không bắt tay theo cách sắp xếp kia. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\omega$ với $AB = 5,$ $BC = 7,$ và $AC = 3.$ Phân giác của góc $A$ cắt cạnh $\overline{BC}$ tại $D$ và đường tròn $\omega$ tại điểm thứ hai $E.$ Giả sử $\gamma$ là đường tròn có đường kính $\overline{DE}.$ Đường tròn $\omega$ và $\gamma$ gặp nhau tại $E$ và điểm thứ hai $F.$ Sau đó $AF^2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$