Sáu vòng tròn bằng nhau tạo thành một vòng với mỗi vòng tròn tiếp xúc ngoài với hai vòng tròn liền kề với nó. Tất cả sáu đường tròn đều tiếp xúc bên trong với một đường tròn $\mathcal{C}$ có bán kính $30.$ Giả sử $K$ là diện tích của vùng bên trong $\mathcal{C}$ và bên ngoài tất cả sáu đường tròn trong vòng. Tìm $\lfloor K\rfloor.$ (Ký hiệu $\lfloor K\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $K.$)
Với mỗi số nguyên dương $k,$ hãy để $S_k$ biểu thị sự tăng dần cấp số cộng của các số nguyên có số hạng đầu tiên là $1$ và có hiệu chung là $k.$ Ví dụ: $S_3$ là dãy $1,$ $4,$ $7,$ $\ldots.$ Có bao nhiêu giá trị của $k$ thì $S_k$ chứa số hạng $2005?$
Có bao nhiêu số nguyên dương có chính xác ba ước số thực sự, mỗi ước số đó nhỏ hơn $50?$ (Một *ước số thực sự* của số nguyên dương $n$ là ước số nguyên dương của $n$ ngoài chính $n$.)
Người chỉ huy một ban nhạc diễu hành mong muốn sắp xếp các thành viên vào một đội hình bao gồm tất cả họ và không còn vị trí nào trống. Nếu chúng được sắp xếp theo hình vuông thì sẽ còn lại $5$ thành viên. Giám đốc nhận thấy rằng nếu chúng được sắp xếp theo hình chữ nhật với số hàng $7$ nhiều hơn số cột thì có thể thu được kết quả mong muốn. Tìm số thành viên tối đa mà ban nhạc này có thể có.
Robert có $4$ đồng tiền vàng không thể phân biệt được và $4$ đồng bạc không thể phân biệt được. Mỗi đồng xu có khắc một mặt ở một mặt, còn mặt kia thì không. Anh ta muốn xếp tám đồng xu trên bàn thành một chồng duy nhất sao cho không có hai đồng xu liền kề nào đối diện nhau. Tìm số cách sắp xếp có thể phân biệt được của các đồng xu $8$.
Giả sử $P$ là tích của các nghiệm không thực của $x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x = 2005.$ Tìm $\lfloor P\rfloor.$ (Ký hiệu $\lfloor P\rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $P.$)
Trong tứ giác $ABCD,$ $BC = 8,$ $CD = 12,$ $AD = 10,$ và $m\angle A = m\angle B = 60^\circ.$ Cho rằng $AB = p + \sqrt{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương, hãy tìm $p + q.$
Phương trình $$
2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1
$$ có ba nghiệm thực. Cho rằng tổng của chúng là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m + n.$
Hai mươi bảy khối lập phương đơn vị được sơn màu cam trên một bộ bốn mặt sao cho hai mặt không sơn có chung một cạnh. Các khối $27$ sau đó được sắp xếp ngẫu nhiên để tạo thành khối $3 \times 3 \times 3$. Cho rằng xác suất mà toàn bộ bề mặt của hình lập phương lớn hơn có màu cam là $\frac{p^a}{q^b r^c},$ trong đó $p,$ $q,$ và $r$ là các số nguyên tố riêng biệt và $a,$ $b,$ và $c$ là các số nguyên dương, hãy tìm $a + b + c + p + q + r.$
Tam giác $ABC$ nằm trong mặt phẳng Descartes và có diện tích $70.$ Tọa độ của $B$ và $C$ lần lượt là $(12, 19)$ và $(23, 20),$ và tọa độ của $A$ là $(p, q).$ Đường chứa trung vị sang cạnh $\overline{BC}$ có độ dốc $-5.$ Tìm giá trị lớn nhất có thể có của $p + q.$
Hình bán nguyệt có đường kính $d$ được chứa trong một hình vuông có cạnh có chiều dài $8.$ Cho rằng giá trị lớn nhất của $d$ là $m - \sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên, hãy tìm $m + n.$
Đối với số nguyên dương $n,$ hãy để $\tau(n)$ biểu thị số ước số nguyên dương của $n,$ bao gồm $1$ và $n.$ Ví dụ: $\tau(1) = 1$ và $\tau(6) = 4.$ Xác định $S(n)$ theo $$
S(n) = \tau(1) + \tau(2) + \cdots + \tau(n).
$$ Đặt $a$ biểu thị số số nguyên dương $n \le 2005$ với $S(n)$ lẻ và đặt $b$ biểu thị số số nguyên dương $n \le 2005$ với $S(n)$ chẵn. Tìm $|a - b|.$
Một hạt chuyển động trong mặt phẳng Descartes từ điểm mạng này sang điểm khác theo các quy tắc sau:
• Từ bất kỳ điểm mạng nào $(a, b),$ hạt chỉ có thể di chuyển đến $(a+1, b),$ $(a, b+1),$ hoặc $(a+1, b+1).$
• Không có góc vuông nào trên đường đi của hạt. Nghĩa là, chuỗi các điểm đã ghé thăm không chứa dãy con có dạng $(a, b),$ $(a+1, b),$ $(a+1, b+1)$ cũng như không chứa dãy con có dạng $(a, b),$ $(a, b+1),$ $(a+1, b+1).$
Hạt có thể đi bao nhiêu đường đi khác nhau từ $(0, 0)$ đến $(5, 5)?$
Xét các điểm $A(0, 12),$ $B(10, 9),$ $C(8, 0),$ và $D(-4, 7).$ Có một hình vuông duy nhất $\mathcal{S}$ sao cho mỗi điểm trong số bốn điểm nằm ở một phía khác nhau của $\mathcal{S}.$ Giả sử $K$ là diện tích của $\mathcal{S}.$ Tìm số dư khi $10K$ được chia cho $1000.$
Trong $\triangle ABC,$ $AB = 20.$ Đường tròn nội tiếp tam giác chia trung vị chứa $C$ thành ba đoạn có độ dài bằng nhau. Cho rằng diện tích của $\triangle ABC$ là $m\sqrt{n},$ trong đó $m$ và $n$ là số nguyên và $n$ không phải là chia hết cho bình phương của bất kỳ số nguyên tố nào, hãy tìm $m + n.$