Cho cấp số cộng $a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots$ với $a_1>0$ và $3a_8=5a_{13}$. Đặt $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ với mọi số nguyên $n\ge1$. Tìm số nguyên $n$ để $S_n$ lớn nhất.
Trong hình dưới, $ABCD$ là hình vuông có $AB=20$ cm (hình không vẽ theo tỉ lệ). Giả sử $M$ là điểm sao cho diện tích miền tô màu bằng $40$ cm$^2$. Tìm $AM$ theo centimét.
Cho dãy số thực $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một cấp số nhân. Đặt $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ với mọi số nguyên $n\ge1$. Biết $S_{10}=10$, $S_{30}=70$. Tính $S_{40}$.
Tất cả số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $2012$ được xếp tăng dần và chia nhóm sao cho nhóm thứ $n$ có $2n-1$ số. Ba nhóm đầu là $(1)$, $(3,5,7)$, $(9,11,13,15,17)$. Biết $2013$ thuộc nhóm thứ $k$. Tìm $k$.
(Chú thích: Hai số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng $1$.)
Các số $1,2,3,\ldots,7$ được chia ngẫu nhiên thành hai tập con không rỗng. Xác suất để tổng các số trong hai tập con bằng nhau là phân số tối giản $p/q$. Tìm $p+q$.
Trong tam giác $ABC$, $AB=AC$, $\angle A=90^\circ$, $D$ là trung điểm $BC$, $E$ là trung điểm $AC$, còn $F$ thuộc $AB$ sao cho $BE$ cắt $CF$ tại $P$ và $B,D,P,F$ cùng thuộc một đường tròn. Gọi $H=AD\cap CP$. Biết $AP=\sqrt5+2$, tìm $PH$.
