Cho $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp $\triangle A B C$. Lấy $D$ trên cạnh $B C$. Tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $A$ cắt đường thẳng qua $D$ song song với $B A$ tại $E$. Đoạn thẳng $C E$ cắt $\Gamma$ lần nữa tại $F$. Giả sử $B, D, F, E$ cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng $A C, B F, D E$ đồng quy.
Chứng minh rằng $r=2$ là số thực $r$ lớn nhất thỏa mãn điều kiện sau:
Nếu dãy số nguyên dương $a_{1}, a_{2}, \ldots$ thỏa mãn các bất đẳng thức
$$
a_{n} \leq a_{n+2} \leq \sqrt{a_{n}^{2}+r a_{n+1}}
$$
với mọi số nguyên dương $n$, thì tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{n+2}=a_{n}$ với mọi $n \geq M$.
Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại một số nguyên dương $m$ và một tập $S$ gồm các số nguyên dương, thỏa mãn: mỗi số nguyên $n\gt m$ có thể được viết thành tổng các phần tử phân biệt của $S$ theo đúng $k$ cách.
Ký hiệu $\mathbb{Z}$ là tập tất cả các số nguyên. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên thỏa mãn tính chất sau:
Với mọi dãy vô hạn các số nguyên $a_{1}, a_{2}, \ldots$ mà mỗi số nguyên trong $\mathbb{Z}$ xuất hiện đúng một lần, tồn tại các chỉ số $i\lt j$ và một số nguyên $k$ sao cho $a_{i}+a_{i+1}+\cdots+a_{j}=P(k)$.
Ignacio có một tờ giấy. Bạn ấy có thể tùy chọn cắt nó thành 6 hoặc 8 mảnh. Sau đó, ở mỗi bước, bạn ấy chọn một mảnh hiện có rồi cắt thành 6 hoặc 8 mảnh.
a) Xác định xem theo cách này, sau một số bước, Ignacio có thể có đúng 24 mảnh giấy hay không.
b) Xác định xem theo cách này, sau một số bước, Ignacio có thể có đúng 32 mảnh giấy hay không.
Nếu không, hãy giải thích; nếu có, hãy chỉ ra cách cắt.
Fede phải chọn 50 số nguyên phân biệt từ $1$ đến $100$, kể cả hai đầu mút, sao cho tổng bằng $2900$. Tìm số lượng số chẵn ít nhất có thể có trong 50 số Fede chọn.
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Hãy tìm, nếu tồn tại, một số nguyên dương $n$ có 171 chữ số sao cho cả $S(n)$ và $S(n+1)$ đều chia hết cho 7.
Trong tam giác cân $ABC$, lấy $D$ và $E$ lần lượt trên các cạnh $AB$ và $AC$ sao cho các đường thẳng $BE$ và $CD$ cắt nhau tại $F$. Ngoài ra, các tam giác $AEB$ và $ADC$ bằng nhau, với $AD=AE=10$ và $AB=AC=30$.
Tính $\frac{\text{diện tích}(ADFE)}{\text{diện tích}(ABC)}$.
Cho $n$ là số nguyên dương. Có $n$ màu, với $n \ge 1$. Ta muốn tô mỗi số nguyên từ $1$ đến $1000$ bằng một trong $n$ màu sao cho hai số phân biệt phải khác màu nếu một số chia hết cho số kia. Tìm giá trị $n$ nhỏ nhất để thực hiện được điều đó.
Cho số nguyên $k \gt 1$. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho có thể tô đen một số ô của bảng $n \times n$ để mỗi hàng và mỗi cột có đúng $k$ ô đen, đồng thời không có hai ô đen chung cạnh hoặc chung đỉnh.
Cho hình bình hành $ABCD$ với $\angle ABC = 105^\circ$. Trong hình bình hành có điểm $E$ sao cho tam giác $BEC$ đều và $\angle CED = 135^\circ$. Gọi $K$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính số đo góc $BKC$.
Cho $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Lấy $E$ và $F$ lần lượt trên $AB$ và $AC$ sao cho $\angle ECB = 30°$ và $\angle FBC = 15°$. Các đường thẳng $CE$ và $BF$ cắt nhau tại $P$; đường thẳng $AP$ cắt cạnh $BC$ tại $D$. Tính số đo góc $FDC$.
Ana và Beto chơi trò chơi sau. Ana viết bốn số nguyên có ba chữ số liên tiếp. Beto chọn ba trong bốn số đó và tính tổng. Nếu tổng viết được thành tích của ba số nguyên dương lớn hơn 1 thì Beto thắng; ngược lại Ana thắng. Xác định xem Ana có thể chọn bốn số để chắc chắn thắng hay không.
Juli có bộ 54 lá bài và rủ Bruno chơi như sau. Juli xếp các lá thành một hàng, một số ngửa và các lá còn lại úp. Bruno có thể lặp lại thao tác: chọn một lá và lật lá đó cùng hai lá bên cạnh (ngửa thành úp, úp thành ngửa). Bruno thắng nếu nhờ các thao tác này làm tất cả các lá ngửa lên; nếu không, Juli thắng. Xác định người có chiến lược thắng và giải thích.
Trên bảng có một đa giác tám cạnh. Mili phải viết một số nguyên từ $1$ đến $16$ lên mỗi cạnh và mỗi đỉnh, không lặp lại. Với mỗi cạnh, Mili tính tổng hai số ở hai đầu mút và số trên cạnh đó, thu được $8$ kết quả. Mục tiêu là $8$ kết quả bằng nhau. Gọi $S$ là giá trị chung của $8$ tổng. Tìm tất cả giá trị có thể của $S$; với giá trị nhỏ nhất, hãy cho một cách gán $16$ số lên đa giác để thu được giá trị $S$ đó.
Có 20 số nguyên dương phân biệt viết quanh một đường tròn. Alex chia mỗi số cho số bên cạnh theo chiều kim đồng hồ và ghi lại số dư. Teo chia mỗi số cho số bên cạnh theo chiều ngược kim đồng hồ và ghi lại số dư. Nếu trong 20 số Alex ghi chỉ có hai số dư khác nhau, hãy xác định số lượng số dư khác nhau mà Teo thu được.
Tìm giá trị lớn nhất có thể của
$$
S = a_1 a_2 a_3 + a_4 a_5 a_6 + \dots + a_{2017} a_{2018} a_{2019} + a_{2020},
$$
trong đó $(a_1, a_2, a_3, \dots, a_{2020})$ là một hoán vị của $(1, 2, 3, \dots, 2020)$.
a) Nico chọn 10 số nguyên dương phân biệt; sau đó Uriel chọn 6 số và cộng lại. Uriel thắng nếu tổng là bội của 6, và thua nếu không. Xác định xem Nico có thể chọn 10 số khiến Uriel không thể thắng hay không.
b) Nico chọn 11 số nguyên dương phân biệt; sau đó Uriel chọn 6 số và cộng lại. Uriel thắng nếu tổng là bội của 6, và thua nếu không. Xác định xem Nico có thể chọn 11 số khiến Uriel không thể thắng hay không.
Trong mỗi trường hợp, nếu có thì cho ví dụ; nếu không thì giải thích.