2013 xIMC keystage2-EMIC individual

Một dãy hình vuông bắt đầu với cạnh $1$ cm. Cạnh mỗi hình tiếp theo bằng đường chéo hình trước. Hình minh họa cách dựng hình thứ hai và thứ ba. Tìm độ dài cạnh hình thứ mười một, đơn vị cm.

Hai mươi bạn nữ xếp hàng quay phải. Bốn bạn nam vào hàng quay trái, lần lượt đếm nữ phía trước được $3,6,15,18$. Mỗi nữ đếm số nam phía trước mình. Tổng các số nữ đếm là bao nhiêu?

Mười quảng cáo $A$–$J$ nằm trong bảng $2\times5$ như hình. Mỗi ngày chúng chuyển ô theo cùng quy tắc cố định. Hình cũng cho vị trí ngày sau. Sau bao nhiêu ngày tất cả cùng về ô đầu lần đầu?

Mỗi cạnh vuông $10$ cm chia thành ba phần bằng nhau. Nối các điểm chia với đỉnh như hình. Tìm diện tích phần tô, cm$^2$.

Bỏ hai chấm góc đối diện của lưới $4\times4$, còn mười bốn chấm như hình. Có bao nhiêu vuông khác nhau lấy bốn chấm làm đỉnh?

Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn $1000$, tận cùng $9$, là tổng một lũy thừa $2$ và một lũy thừa $3$? Số $1$ là lũy thừa của cả hai.

Alice thay mỗi số $6,7,\ldots,2012,2013$ bằng tổng chữ số. Brian làm tương tự với kết quả, rồi Colin làm thêm lần nữa. Số nào Colin thu được nhiều nhất?

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất bằng hai lần bình phương một số nguyên dương và đồng thời bằng năm lần lũy thừa bậc năm một số nguyên dương khác.

Mỗi số nguyên dương là tổng các lũy thừa hai khác nhau; $1$, $2$ đều là lũy thừa hai. Có bao nhiêu số ba chữ số là tổng đúng chín lũy thừa hai khác nhau?

Trong tam giác $ABC$, $D,E$ là trung điểm $BC,CA$. Hai trung tuyến $AD,BE$ vuông góc, gặp tại trọng tâm $G$ với $AG=2DG$, $BG=2EG$. Tính $(BC^2+AC^2)/AB^2$.

Điểm $O$ trong tứ giác $ABCD$, khoảng cách tới các đỉnh là $1,2,4,7$ cm theo một thứ tự. Diện tích tứ giác lớn nhất bao nhiêu cm$^2$?

Từ $1\times2\times\cdots\times2013$, cần bỏ ít nhất bao nhiêu thừa số để tích còn lại tận cùng $9$?

Số nguyên dương gọi là lạ nếu mọi số mũ trong phân tích nguyên tố lẻ. Ví dụ $22=2^1\times11^1$, $23=23^1$, $24=2^3\times3^1$ là ba số lạ liên tiếp. Dãy số lạ liên tiếp dài nhất bao nhiêu?

Bảng $8\times8$ tô một nửa như hình. Tổng số bảng con $2\times2$, $4\times4$, $6\times6$ có đúng nửa số ô tô là bao nhiêu?

Số nguyên dương không quá chín chữ số gọi là tốt nếu chữ số đơn vị $0$ hoặc $1$, chục $0,1,2$, trăm $0,1,2,3$, nghìn $0,1,2,3,4$, v.v. Mười số đầu $1,10,11,20,21,100,101,110,111,120$. Tìm số tốt thứ một trăm.