IMC 2013 — Keystage 3 (IWYMIC) — Thi đội

Điền mười chữ số vào mười tròn như hình, mỗi số một lần. Hai số liên tiếp không ở hai tròn nối trực tiếp bằng đoạn. Tổng số trên biên ba chữ nhật là mười, mười bốn, ba mươi bảy theo nhãn.

Tam giác vuông có độ dài cạnh nguyên, nguyên tố cùng nhau, theo centimet. Đường nối trọng tâm và tâm nội tiếp vuông góc một cạnh. Tìm chu vi nhỏ nhất.

Đặt quân ngẫu nhiên đều lên một trong chín tròn như hình, rồi chọn đều một đoạn nối từ đó để đi tới tròn khác. Xác suất đến tròn đen là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ có $\angle A=40^\circ$, $\angle B=60^\circ$. Phân giác góc A gặp $BC$ tại $D$. $F$ trên $AB$, $\angle ADF=30^\circ$. Tìm $\angle DFC$.

Số nguyên dương có hai nghìn không trăm mười ba chữ số, chữ đầu năm. Mỗi cặp chữ số kề tạo bội mười ba hoặc hai mươi bảy. Tìm tổng các chữ số cuối khác nhau có thể.

Mỗi cặp người thi đấu một lần, không hòa. Với bất kỳ hai người, có người thứ ba thắng cả hai. (a) Chứng minh không thể có sáu người. (b) Dựng giải có bảy người.

Ngũ giác $ABCDE$ có $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$, $AB=BC$, $DE=EA$, $BE=100$ cm. Tìm diện tích theo centimet vuông.

Mỗi ô bảng $100\times100$ có quân. Hai người luân phiên lấy toàn bộ quân trong vùng chữ nhật không rỗng, không chứa ô trống. Lấy quân cuối thua. Hình cho ván mẫu $4\times4$ người đầu thua. Với bảng cạnh một trăm, ai có chiến thuật thắng?

Hộp $5\times5$ chứa mỗi loại đỏ, vàng, xanh lam, xanh lá năm viên. Mỗi hàng, cột có một ô trống và mỗi màu một viên. Mười hai người báo màu ô đầu nhìn từ cạnh chỉ định, hoặc ô thứ hai nếu đầu trống. Điền bảng theo các nhãn cạnh; $R,Y,B,G$ chỉ bốn màu.

Bốn tem khác nhau trong khối $2\times2$ có mười ba khối con không rỗng liên thông theo cạnh như hình; ô tô là tem bỏ. Khối $2\times4$ gồm tám tem khác nhau có bao nhiêu khối con liên thông không rỗng?