Cho hai đường tròn $O$ và $O'$ cắt nhau ở $A$ và $B$. Đường thẳng $TT'$ tiếp xúc với đường tròn thứ nhất tại điểm $T$ và đường tròn thứ hai tại $T'$. Các đường vuông góc từ $T$ và $T'$ cắt đường thẳng $OO'$ tại $S$ và $S'$. Tia $AS$ cắt đường tròn thứ nhất tại $R$ và tia $AS'$ cắt đường tròn thứ hai tại $R'$. Chứng minh rằng $R,B$ và $R'$ thẳng hàng.
Cho số nguyên dương $n$ và $a,b$ là hai số nguyên lớn hơn $1$ nguyên tố cùng nhau. Giả sử rằng $M=a^{6^n}+b^{6^n}$ có ít nhất hai ước lẻ lớn hơn $1$. Hãy xác định số dư của $M$ cho $6\cdot12^n$.
Với số thực $a,b$ được xác định dãy $x_0,x_1,x_2,\ldots$ bởi $x_0=a$, $x_{n+1}=x_n+b\sin x_n$. Nếu $b=1$ chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ tới một giá trị hữu hạn với mọi $a$. Nếu $b\gt 2$ chứng minh rằng dãy phân kì với $a$ nào đó.
Hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức
$$\frac1{\sqrt x}+\frac2{\sqrt y}+\frac3{\sqrt z}$$
ở đó $x,y,z$ là các số dương thoả mãn điều kiện sau
$$\begin{cases}\dfrac1{\sqrt2}\le z\le\min\{x\sqrt2,y\sqrt3\},\\[3pt]x+z\sqrt3\ge\sqrt6,\\[3pt]y\sqrt3+z\sqrt{10}\ge2\sqrt5.\end{cases}$$
Cho $a_1,a_2,\ldots,a_{2n}$ là một hoán vị của $\{1,2,\ldots,2n\}$ sao cho
$$|a_i-a_{i+1}|\ne|a_j-a_{j+1}|$$
với mọi $i\ne j$. Chứng minh rằng $a_1=a_{2n}+n$ khi và chỉ khi $1\le a_{2i}\le n$ với $i=1,2,\ldots,n$.