Câu hỏi 1
Trong mặt phẳng, cho đa giác lồi $M_0M_1\cdots M_{2n}$, $n\ge1$, có các đỉnh nằm theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn $(C)$ bán kính $R$. Điểm $A$ ở trong đa giác thỏa mãn
$$\angle M_0AM_1=\angle M_1AM_2=\cdots=\angle M_{2n}AM_0=\frac{360^\circ}{2n+1}.$$
Giả sử $A$ không trùng tâm. Lấy $B$ trên đường tròn sao cho $AB$ vuông góc với đường kính đi qua $A$. Chứng minh
$$\frac{2n+1}{\frac1{AM_0}+\frac1{AM_1}+\cdots+\frac1{AM_{2n}}}\lt AB\lt\frac{AM_0+AM_1+\cdots+AM_{2n}}{2n+1}\lt R.$$
Nguồn gọi cùng đường tròn này là $(O)$ ở câu định nghĩa $B$; ở đây thống nhất dùng $(C)$ và gọi tâm là $O$. Hai cách chọn $B$ đều cho cùng độ dài.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Ngày in trên nguồn là 16–17/5/1990; việc nhóm bài 1–3 và 4–6 theo hai buổi là suy luận biên tập. Hệ số chấm của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.
$$\angle M_0AM_1=\angle M_1AM_2=\cdots=\angle M_{2n}AM_0=\frac{360^\circ}{2n+1}.$$
Giả sử $A$ không trùng tâm. Lấy $B$ trên đường tròn sao cho $AB$ vuông góc với đường kính đi qua $A$. Chứng minh
$$\frac{2n+1}{\frac1{AM_0}+\frac1{AM_1}+\cdots+\frac1{AM_{2n}}}\lt AB\lt\frac{AM_0+AM_1+\cdots+AM_{2n}}{2n+1}\lt R.$$
Nguồn gọi cùng đường tròn này là $(O)$ ở câu định nghĩa $B$; ở đây thống nhất dùng $(C)$ và gọi tâm là $O$. Hai cách chọn $B$ đều cho cùng độ dài.
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Ngày in trên nguồn là 16–17/5/1990; việc nhóm bài 1–3 và 4–6 theo hai buổi là suy luận biên tập. Hệ số chấm của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.