Cho dãy số $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$ thỏa mãn $|x_1|\lt 1$, được xác định bởi công thức truy hồi sau đây
$$x_{n+1}=\frac{-x_n+\sqrt{3-3x_n^2}}2.$$
(a) Hỏi rằng cần có điều kiện gì đối với $x_1$ để dãy số nói trên gồm toàn số dương?
(b) Dãy số này có tuần hoàn không? Giải thích câu trả lời của bạn.
Cho $2n-1$ số tự nhiên liên tiếp $1,2,3,\ldots,2n-1$. Hãy gạch đi ít nhất $n-1$ số theo quy tắc sau đây:
- Nếu đã gạch số $a$ thì phải gạch số $2a$.
- Nếu đã gạch số $a$ và số $b$ thì phải gạch số $a+b$.
Hỏi rằng cần phải gạch số nào để tổng các số còn lại lớn nhất? Giải thích câu trả lời của bạn.
Người ta muốn cắt một hình tứ diện bằng ba mặt phẳng để được một hình hộp sao cho ba mặt các đỉnh hình hộp nằm trên các mặt của hình tứ diện.
(a) Có thể cắt để thể tích hình hộp bằng $9/10$ thể tích hình tứ diện không? Giải thích.
(b) Hãy xác định một điểm nào đó của ba mặt phẳng cắt để thể tích hình hộp bằng $11/50$ thể tích của hình tứ diện.
Trong một mặt phẳng cho tam giác $ABC$. Hãy xác định quỹ tích các điểm $M$ trong mặt phẳng đó sao cho
$$MA\cdot MA'=MB\cdot MB'=MC\cdot MC',$$
ở đó $A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ lên các đường thẳng $BC,CA,AB$.
Giả sử rằng $f(x)$ là một đa thức với hệ số thực khác hằng số thỏa mãn điều kiện
$$f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x)$$
với mọi $x\in\mathbb R$. Chứng minh rằng đa thức $f$ không có nghiệm thực.
Các em nhỏ ở một lớp học đứng vòng tròn chơi một trò chơi kẹo. Cô giáo cho mỗi em một số chẵn chiếc kẹo (em nào cũng có kẹo và số kẹo mỗi em có được có thể khác nhau). Một em nào đó đưa một nửa số kẹo của mình cho bạn ở ngay bên cạnh bên tay phải mình. Tiếp theo em vừa nhận được kẹo của bạn làm như thế nếu số kẹo mình hiện có là số chẵn, còn nếu là số lẻ thì sẽ nhận được một chiếc kẹo từ cô giáo trước khi chia cho bạn như thế. Các em cứ lần lượt đưa kẹo như thế theo một vòng tròn. Chứng minh rằng sẽ dẫn đến trường hợp là có một em nếu đưa một nửa số kẹo của mình không cho bạn mà cho cô giáo thì tất cả các em có số kẹo bằng nhau.