VN TST 1990

Trong mặt phẳng, cho đa giác lồi $M_0M_1\cdots M_{2n}$, $n\ge1$, có các đỉnh nằm theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn $(C)$ bán kính $R$. Điểm $A$ ở trong đa giác thỏa mãn
$$\angle M_0AM_1=\angle M_1AM_2=\cdots=\angle M_{2n}AM_0=\frac{360^\circ}{2n+1}.$$
Giả sử $A$ không trùng tâm. Lấy $B$ trên đường tròn sao cho $AB$ vuông góc với đường kính đi qua $A$. Chứng minh
$$\frac{2n+1}{\frac1{AM_0}+\frac1{AM_1}+\cdots+\frac1{AM_{2n}}}\lt AB\lt\frac{AM_0+AM_1+\cdots+AM_{2n}}{2n+1}\lt R.$$
Nguồn gọi cùng đường tròn này là $(O)$ ở câu định nghĩa $B$; ở đây thống nhất dùng $(C)$ và gọi tâm là $O$. Hai cách chọn $B$ đều cho cùng độ dài.

Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức. Ngày in trên nguồn là 16–17/5/1990; việc nhóm bài 1–3 và 4–6 theo hai buổi là suy luận biên tập. Hệ số chấm của bộ nhập: đúng 1, sai 0, bỏ trống 0.

Cho các số thực dương $a,b,A,B$. Dãy số được xác định bởi $x_1=a$, $x_2=b$ và
$$x_{n+1}=A\sqrt[3]{x_n^2}+B\sqrt[3]{x_{n-1}^2}\qquad(n=2,3,4,\ldots).$$
Chứng minh tồn tại $\lim_{n\to\infty}x_n$ và tính giới hạn đó.

Chứng minh không tồn tại hàm số thực $f$ xác định với mọi số thực $x$ và thỏa mãn $f(f(x))=x^2-2$ với mọi $x$.

Tập hữu hạn $T$ gồm các số nguyên dương thỏa mãn:
1. Với hai phần tử bất kỳ của $T$, ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng cũng thuộc $T$.
2. Với mỗi $x\in T$, có $x'\in T$ sao cho $\gcd(x,x')=1$ và $\operatorname{lcm}(x,x')$ là số lớn nhất của $T$.
Ký hiệu $l(T)$ là số phần tử của $T$. Tìm giá trị lớn nhất của $l(T)$, biết $l(T)\lt1990$.

Cho tứ diện mà mỗi cặp cạnh đối diện đều có tích độ dài bằng $l$. Gọi các góc giữa các cặp cạnh đối diện là $\alpha,\beta,\gamma$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp các mặt là $R_1,R_2,R_3,R_4$. Chứng minh
$$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma\ge\frac{l}{\sqrt{R_1R_2R_3R_4}}.$$

Có $n\ge3$ học sinh đứng thành vòng tròn và luôn quay mặt vào cô giáo ở tâm. Mỗi lần cô giáo thổi còi, hai học sinh nào đó đứng sát nhau đổi chỗ, còn các em khác đứng yên. Tìm số lần thổi còi nhỏ nhất $M$ để có thể đổi chỗ thích hợp sao cho: hai em bất kỳ lúc đầu đứng cạnh nhau thì cuối cùng vẫn đứng cạnh nhau, nhưng đổi vai trò trái/phải. Cụ thể, nếu lúc đầu em $A$ ở bên tay trái em $B$, thì cuối cùng $A$ ở bên tay phải $B$.