Skip to content / Đến nội dung
ThichHocToan.com

SMO 2013 - Senior - Vòng 1

Câu hỏi 1

Một cửa hàng bán hai loại sản phẩm $A$ và $B$. Một ngày, nhân viên bán cho một khách hàng mỗi sản phẩm $A$ và $B$ với cùng giá 2100 đô-la. Giả sử sản phẩm $A$ lãi $20\%$, còn sản phẩm $B$ lỗ $20\%$. Khi đó giao dịch này
  1. lãi 70 đô-la
  2. lỗ 70 đô-la
  3. lãi 175 đô-la
  4. lỗ 175 đô-la
  5. không lãi cũng không lỗ

Câu hỏi 2

Phương trình $(x^3-x-1)^{x+2013}=1$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
  1. $0$
  2. $1$
  3. $2$
  4. $3$
  5. Nhiều hơn 3

Câu hỏi 3

Trong mặt phẳng $xy$, phương án nào sau đây là ảnh đối xứng của đồ thị

$$y=\frac{1+x}{1+x^2}$$

qua đường thẳng $y=2x$?
  1. $x=\frac{1+y}{1+y^2}$
  2. $x=\frac{-1+y}{1+y^2}$
  3. $x=-\frac{1+y}{1+y^2}$
  4. $x=\frac{1-y}{1+y^2}$
  5. Không phương án nào ở trên

Câu hỏi 4

Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số lượng các số dư có thể có khi chia

$$2013^n-1803^n-1781^n+1774^n$$

cho $203$.
  1. $1$
  2. $2$
  3. $3$
  4. $4$
  5. Nhiều hơn 4

Câu hỏi 5

Tìm số lượng các số nguyên $n$ để phương trình

$$xy^2+y^2-x-y=n$$

có vô số nghiệm nguyên $(x,y)$.
  1. $0$
  2. $1$
  3. $2$
  4. $3$
  5. Nhiều hơn 3

Câu hỏi 6

Nếu $0\lt \theta\lt \pi/4$ và $\operatorname{cosec}\theta-\sec\theta=\sqrt{13}/6$, thì $\cot\theta-\tan\theta$ bằng
  1. $\frac{\sqrt{13}}6$
  2. $\frac{\sqrt{12}}6$
  3. $\frac{\sqrt5}6$
  4. $\frac{13}6$
  5. $\frac56$

Câu hỏi 7

Hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Biết $AB\parallel CD$, $\angle COD=3\angle AOB$ và $AB/CD=2/5$. Tìm tỉ số diện tích tam giác $BOC$ và tam giác $AOB$.

Hình minh họa câu hỏi
  1. $\frac32$
  2. $\frac74$
  3. $\frac{\sqrt3}{\sqrt2}$
  4. $\frac{\sqrt5}2$
  5. $\frac{\sqrt7}{\sqrt2}$

Câu hỏi 8

Hình vuông $ABCD$ và tam giác đều $PQR$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, với $AB\parallel QR$. Hai cạnh $PQ$ và $PR$ của tam giác lần lượt cắt cạnh $AB$ của hình vuông tại $X$ và $Y$. Giá trị của $\tan\angle XOY$ là

Hình minh họa câu hỏi
  1. $\frac1{\sqrt3}$
  2. $1$
  3. $\frac{\sqrt6-\sqrt3}{\sqrt2}$
  4. $\frac{2\sqrt2-2}{\sqrt3}$
  5. $\sqrt3$

Câu hỏi 9

Hai người đến cùng một bể bơi vào thời điểm ngẫu nhiên từ 2 giờ chiều đến 5 giờ chiều; mỗi người bơi một giờ. Xác suất họ gặp nhau là bao nhiêu?
  1. $\frac19$
  2. $\frac29$
  3. $\frac13$
  4. $\frac49$
  5. $\frac59$

Câu hỏi 10

Cho tam giác $ABC$. Các điểm $B^{\prime},C^{\prime}$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,AC$ và thỏa $BB^{\prime}=CC^{\prime}$. Gọi $O,O^{\prime}$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABC$ và $AB^{\prime}C^{\prime}$. Giả sử $OO^{\prime}$ cắt các đường thẳng $AB^{\prime},AC^{\prime}$ lần lượt tại $B^{\prime\prime},C^{\prime\prime}$. Nếu $AB=\frac12 AC$, thì

Hình minh họa câu hỏi
  1. $AB^{\prime\prime}<\frac12AC^{\prime\prime}$
  2. $AB^{\prime\prime}=\frac12AC^{\prime\prime}$
  3. $\frac12AC^{\prime\prime}<AB^{\prime\prime}<AC^{\prime\prime}$
  4. $AB^{\prime\prime}=AC^{\prime\prime}$
  5. $AB^{\prime\prime}>AC^{\prime\prime}$

Câu hỏi 11

Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn bán kính $100$. Gọi $\alpha,\beta$ là hai góc nhọn. Nếu $\tan\alpha=4\tan\beta$, hãy tính diện tích tam giác.

Câu hỏi 12

Cho $f(x)=\dfrac{1+10x}{10-100x}$. Ký hiệu $f^n$ là hợp của $n$ hàm $f$ liên tiếp. Tính

$$f\left(\frac12\right)+f^2\left(\frac12\right)+f^3\left(\frac12\right)+\cdots+f^{6000}\left(\frac12\right).$$

Câu hỏi 13

Hai đoạn thẳng vuông góc $AB,CD$ cắt nhau tại $P$. Biết $AP=2$, $BP=3$, $CP=1$. Nếu bốn điểm $A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn, hãy tính $DP$.

Câu hỏi 14

Trong mặt phẳng $xy$, gọi $S$ là miền gồm mọi điểm $(x,y)$ thỏa

$$\left|x+\frac12y\right|\le10,\qquad |x|\le10,\qquad |y|\le10.$$

Đường tròn lớn nhất có tâm $(0,0)$ nằm trọn trong miền $S$ có diện tích hình tròn bằng $k\pi$. Tìm $k$.

Câu hỏi 15

Biết $\sqrt[3]{17-\frac{27}{4}\sqrt6}$ và $\sqrt[3]{17+\frac{27}{4}\sqrt6}$ là hai nghiệm của phương trình

$$x^2-ax+b=0.$$

Tìm $ab$.

Câu hỏi 16

Tìm số lượng các số nguyên từ $1$ đến $2013$ có tổng các chữ số bằng $9$.

Câu hỏi 17

Cho đa thức $p(x)$ có hệ số nguyên sao cho $p(m)-p(n)$ là ước của $m^2-n^2$ với mọi số nguyên $m,n$. Nếu $p(0)=1$, $p(1)=2$, hãy tìm giá trị lớn nhất có thể của $p(100)$.

Câu hỏi 18

Tìm số lượng các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa $a^2+b^2\lt 2013$ và $a^2b\mid(b^3-a^3)$.

Câu hỏi 19

Cho các hàm $f,g$ sao cho với mọi số thực $x,y$,

$$g(f(x+y))=f(x)+(x+y)g(y).$$

Tính $g(0)+g(1)+\cdots+g(2013)$.

Câu hỏi 20

Mỗi viên sô-cô-la giá 1 đô-la, mỗi thanh kẹo cam thảo giá 50 xu và mỗi viên kẹo giá 40 xu. Có bao nhiêu tổ hợp số lượng ba loại này có tổng giá 10 đô-la?