SMO 2013 - Junior - Vòng 2

Cho các số thực $a<b<c<d<e$. Trong $10$ tổng của các cặp số này, ba tổng nhỏ nhất là $32$, $36$, $37$, còn hai tổng lớn nhất là $48$, $51$. Tìm mọi giá trị có thể của $e$.

Trong tam giác $ABC$, các điểm $D,E,F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$, sao cho $FE$ song song với $BC$ và $DF$ song song với $CA$. Gọi $P$ là giao điểm của $BE$ và $DF$, còn $Q$ là giao điểm của $FE$ và $AD$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $AB$.

Tìm tất cả các số nguyên tố có thể viết vừa thành tổng của hai số nguyên tố, vừa thành hiệu của hai số nguyên tố.

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a>b>2$. Chứng minh rằng $\dfrac{2^a+1}{2^b-1}$ không phải là số nguyên.

Sáu nhạc công tụ họp tại một liên hoan nhạc thính phòng. Trong mỗi buổi hòa nhạc được lên lịch, một số người biểu diễn, còn những người khác ngồi nghe với vai trò khán giả. Cần tổ chức ít nhất bao nhiêu buổi như vậy để với bất kỳ hai nhạc công nào, mỗi người đều biểu diễn cho người kia nghe trong một buổi nào đó?