SMO 2013 - Open - Vòng 2

Cho dãy số nguyên $a_1,a_2,\ldots$ xác định bởi $a_1=2013$ và, với $n\ge1$, $a_{n+1}$ là tổng các lũy thừa bậc $2013$ của các chữ số của $a_n$. Có tồn tại hai số nguyên dương phân biệt $i,j$ sao cho $a_i=a_j$ không?

Cho tam giác nhọn $ABC$, và gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Dựng đường tròn tâm là trực tâm của tam giác $ABC$ sao cho tam giác nằm trong đường tròn. Kéo dài $EF$ cắt đường tròn tại $P$, $FD$ cắt tại $Q$, và $DE$ cắt tại $R$. Chứng minh $AP=BQ=CR$.

Cho $N$ là số nguyên dương. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$$n^{2013}-n^{20}+n^{13}-2013$$
có ít nhất $N$ thừa số nguyên tố phân biệt.

Cho $F$ là một tập hữu hạn khác rỗng gồm các số nguyên, và $n$ là số nguyên dương. Giả sử:

- Mỗi $x\in F$ đều viết được dưới dạng $x=y+z$ với $y,z\in F$.
- Nếu $1\le k\le n$ và $x_1,\ldots,x_k\in F$, thì $x_1+\cdots+x_k\ne0$.

Chứng minh $F$ có ít nhất $2n+2$ phần tử phân biệt.

Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh nguyên và $\angle A=3\angle B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi.